动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 17 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 17 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 9 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9 kgm₂ = 7.5 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 25° 的角度抛出，落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 25°R = 75 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.9 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3.9 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个半径为 130 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 130 mθ = 20°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 18 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.3d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 6.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 6.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 8 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一根轴在 1100 rpm 时传递 150.5 kW。求轴中的转矩 T。

P = 150.5 kWn = 1100 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.3 m。求它沿斜面滚过 4 m 后的角速度 ω。

θ = 25°s = 4 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 120 mm 的带轮以 720 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 2.5 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 720 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 400 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（25 齿）以 2880 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 1350 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 2880 rpmA = 25B = 50C = 30n_out = 1350 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 0.98 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.6 mT = 0.98 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.4 s，振幅为 19 cm。它从最大位移 19 cm 处运动到位移 7.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.4 sA = 19 cmx = 7.6 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 5 个周期出现峰值 1.2 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₅ = 1.2 mmn = 5

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 17 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/2 = 17 s

答案

t = 17 s

此时警车的速度为 2v = 34 m/s。

2.运动学

答案: t = 5.073 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·40))/9.81 = 5.073 s

答案

t = 5.073 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.823 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答案

a = 4.823 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.629 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 30.2 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (73.58 − 30.2 − 0)/16.5 = 2.629 m/s²

答案

a = 2.629 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 30.99 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·75/sin 50°) = 30.99 m/s

答案

v₀ = 30.99 m/s

6.抛体运动

答案: x = 142.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18.35 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 18.35·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.35 + √(336.9 + 882.9))/9.81 = 5.431 s

水平距离

x = v_x·t = 26.21·5.431 = 142.4 m

答案

x = 142.4 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.508 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·3.9)) = 2.508 rad/s

答案

ω = 2.508 rad/s

8.圆周运动

答案: v_max = 27.85 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(130·9.81·0.53/0.8713) = 27.85 m/s

答案

v_max = 27.85 m/s

(100.3 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 192 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9063 = 35.56 N

F = μN = 0.3·35.56 = 10.67 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 10.67·18 = 192 J

答案

W_f = 192 J

10.功和能

答案: N = 9.81 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6.5 − 5) = 29.43 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·29.43/2.5 − 49.05 = 9.81 N

答案

N = 9.81 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 7.143 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 0.5)/(3 + 0.5)·10 = 7.143 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0.5)·10 = 17.14 m/s

答案

v′₁ = 7.143 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 153 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(9 + 8) = 7.65 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 7.65/0.05 = 153 N

答案

F_avg = 153 N

13.刚体转动

答案: T = 1307 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1100/60 = 115.2 rad/s

扭矩

T = P/ω = 150500/115.2 = 1307 N·m

答案

T = 1307 N·m

14.刚体转动

答案: ω = 16.22 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 4·sin 25° = 1.69 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·1.69/1.4) = 4.867 m/s

ω = v/r = 4.867/0.3 = 16.22 rad/s

答案

ω = 16.22 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 210.6 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

720·120/400 = 216 rpm

有打滑

n₂ = 216·0.975 = 210.6 rpm

答案

n₂ = 210.6 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 32

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 2880·25/50 = 1440 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 30·1440/1350 = 32

答案

N_D = 32

17.弹簧与单摆

答案: g = 24.66 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/0.98² = 24.66 m/s²

答案

g = 24.66 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.4428 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.4 = 2.618 rad/s

求解时间

0.4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.4) = 1.159 rad

t = 1.159/2.618 = 0.4428 s

答案

t = 0.4428 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.08014

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(15/1.2) = 0.5051

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5051/√(39.48 + 0.2552) = 0.08014

答案

ζ = 0.08014

20.机械振动

答案: f_n = 4.109 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/12 + 1/15 → k_eq = 12·15/(12 + 15) = 6.667 kN/m

固有频率

ω_n = √(6667/10) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

答案

f_n = 4.109 Hz

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