动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 26 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 26 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 20 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 20 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 180 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 40 kgF = 180 Nθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 105 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 7 kgF = 105 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 25° 的角度抛出，落在 140 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 25°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.1 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.1 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 0.8 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 8°F_r = 200 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 275 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 6 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 275 Nθ = 35°μ = 0.15d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 23 m/sv_out = 20 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 32 kg·m² 的飞轮以 2000 rpm 转动。制动器施加 55 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 32 kg·m²n = 2000 rpmT_b = 55 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 6 kg 的哑铃，距转轴 0.9 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 2.5 kg·m²。他们以 45 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.35 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 2.5 kg·m²m = 2 × 6 kgr₁ = 0.9 mr₂ = 0.35 mn₁ = 45 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1440 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮上。紧边张力为 400 N，松边张力为 160 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 160 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 12 个齿，每个行星轮有 12 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1440 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 12N_p = 12n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 6.8 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.9 mT = 6.8 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 1.1 kg 的物体连在 k = 300 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.1 kgk = 300 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 50 mm 之后 3 个周期出现峰值 7.5 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 50 mmx₃ = 7.5 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 25 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 26 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/2 = 26 s

答案

t = 26 s

此时警车的速度为 2v = 52 m/s。

2.运动学

答案: t = 28 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·4 = 10 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 10/2.5 = 4 s

总时间

t = 4 + 20 + 4 = 28 s

答案

t = 28 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.24 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 180·sin 35° = 289.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 147.4 − 57.83

a = 89.62/40 = 2.24 m/s²

答案

a = 2.24 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 8.047 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 24.53)/10 = 8.047 m/s²

答案

a = 8.047 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 42.34 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 50°) = 42.34 m/s

答案

v₀ = 42.34 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.178 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9.72 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 9.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.72 + √(94.48 + 882.9))/9.81 = 4.178 s

答案

t = 4.178 s

7.圆周运动

答案: ω = 3.417 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·2.1)) = 3.417 rad/s

答案

ω = 3.417 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 42.15 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·4.5²/0.8 = 11.77 + 30.37 = 42.15 N

答案

T = 42.15 N

9.功和能

答案: P = 66.44 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 8° = 2458 N

F = 2458 + 200 = 2658 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 2658·25 = 66438 W = 66.44 kW

答案

P = 66.44 kW

10.功和能

答案: v = 9.111 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 112.5 N

μ·mg·cos θ = 24.11 N

功–能关系

½mv² = (275 − 136.6)·6 = 830.1 J

v = √(2·830.1/20) = 9.111 m/s

答案

v = 9.111 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·3 = 2 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·3 = 5 m/s

答案

v′₂ = 5 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 688 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(20 + 23) = 17.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 17.2/0.025 = 688 N

答案

F_avg = 688 N

13.刚体转动

答案: N = 2031 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2000/60 = 209.4 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·32·209.4² = 701839 J

θ = 701839/55 = 12761 rad

圈数

N = θ/2π = 2031 rev

答案

N = 2031 rev

14.刚体转动

答案: n₂ = 138.5 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 2.5 + 2·6·0.9² = 12.22 kg·m²

I₂ = 2.5 + 2·6·0.35² = 3.97 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 45·12.22/3.97 = 138.5 rpm

答案

n₂ = 138.5 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.81 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 7.54 m/s

功率

P = (400 − 160)·7.54 = 1810 W = 1.81 kW

答案

P = 1.81 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 360 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·12 = 36

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −36/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·12/48 = 360 rpm

答案

n_c = 360 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.622 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/6.8² = 1.622 m/s²

答案

g = 1.622 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 40.91 m/s²

角频率

ω = √(300/1.1) = 16.51 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.15·16.51² = 40.91 m/s²

答案

a_max = 40.91 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.1001

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(50/7.5) = 0.6324

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001

答案

ζ = 0.1001

20.机械振动

答案: k_eq = 20 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/25 + 1/100 → k_eq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m

答案

k_eq = 20 kN/m

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