动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 2300 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 2300 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 9.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 7 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 70° 的角度抛出，落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 70°R = 40 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 45 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 45 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 11 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 15°μ = 0.15d = 11 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 14 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 1200 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1300 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 16 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 19 kg·m² 的飞轮以 900 rpm 转动。制动器施加 25 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 19 kg·m²n = 900 rpmT_b = 25 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

质量为 3 kg、长为 1.1 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 340 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.64 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 3 kgL = 1.1 mm = 10 gv = 340 m/sd = 0.64 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一台 2.2 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 48 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 2.2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 48η = 96%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 125 mmd₂ = 450 mmC = 600 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的 2.3 kg 物体在无摩擦表面上以 15 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 9 cm 时的速度 v。

m = 2.3 kgk = 40 N/mA = 15 cmx = 9 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.6 kg 的物体连在 k = 390 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.6 kgk = 390 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块由刚度为 2 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 120 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 20 kgk = 2 kN/mc = 120 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.5435 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·2300) = 0.5435 m/s²

答案

a = 0.5435 m/s²

2.运动学

答案: t = 3.684 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.684 s

答案

t = 3.684 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.243 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

答案

a = 6.243 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 64.95 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 59.9 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (68.67 − 59.9 − 0)/16.5 = 0.5312 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7·(9.81 − 0.5312) = 64.95 N

答案

T = 64.95 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 24.71 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·40/sin 140°) = 24.71 m/s

答案

v₀ = 24.71 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.737 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 25° = 27.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 25° = 12.68 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 12.68·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.68 + √(160.7 + 981))/9.81 = 4.737 s

答案

t = 4.737 s

7.圆周运动

答案: v_max = 17.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·45) = 17.58 m/s

答案

v_max = 17.58 m/s (63.28 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.285 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.1) = 3.285 m/s

答案

v_min = 3.285 m/s

9.功和能

答案: W_f = 7.817 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9659 = 4.738 N

F = μN = 0.15·4.738 = 0.7107 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.7107·11 = 7.817 J

答案

W_f = 7.817 J

10.功和能

答案: x = 28.01 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3 − 0.2·5) = 98.1 J

最大压缩量

½kx² = 98.1 → x = √(2·98.1/2500) = 0.2801 m = 28.01 cm

答案

x = 28.01 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 61152 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·14/2500 = 7.28 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·14² = 127400 J

K_after = ½·2500·7.28² = 66248 J

损失的能量

ΔK = 127400 − 66248 = 61152 J

答案

ΔK = 61152 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 80 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(4 + 16) = 2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2/0.025 = 80 N

答案

F_avg = 80 N

13.刚体转动

答案: N = 537.2 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·19·94.25² = 84385 J

θ = 84385/25 = 3375 rad

圈数

N = θ/2π = 537.2 rev

答案

N = 537.2 rev

14.刚体转动

答案: φ = 28.36 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 3·1.1²/3 + 0.01·0.64² = 1.214 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·340·0.64/1.214 = 1.792 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·1.214·1.792² = 1.95 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 16.25·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 1.95/16.25 = 0.88 → φ = 28.36°

答案

φ = 28.36°

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 14.01 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m

答案

T₁ = 14.01 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 148.6 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.2708) = 15.71°

包角

θ = 180 − 2·15.71 = 148.6°

答案

θ = 148.6°

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.5004 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(40/2.3) = 4.17 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 4.17·√(0.15² − 0.09²) = 0.5004 m/s

答案

v = 0.5004 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.654 m/s

角频率

ω = √(390/1.6) = 15.61 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.17·15.61 = 2.654 m/s

答案

v_max = 2.654 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.3

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·20) = 400 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 120/400 = 0.3

答案

ζ = 0.3

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 9.746 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 100 + 50 = 150 kN/m

固有频率

ω_n = √(150000/40) = 61.24 rad/s

f_n = 61.24/(2π) = 9.746 Hz

答案

f_n = 9.746 Hz

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