动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 30 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 30 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 34 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 34 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 9.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 64 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 50°x = 64 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 15 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 115 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 115 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 12 m/s 水平运动的 12 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 69 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 12 kgu = 12 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 69 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 1700 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 16.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1700 kgd = 16.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一个 10 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 10.5 kg、半径为 0.25 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 10 kgM = 10.5 kgR = 0.25 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

质量为 2 kg、长为 0.9 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 340 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.56 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 2 kgL = 0.9 mm = 10 gv = 340 m/sd = 0.56 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一个 100 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 300 mm 的带轮，打滑率为 4 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 300 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（20 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 320 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1440 rpmA = 20B = 50C = 25n_out = 320 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 0.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 0.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3 kgk = 170 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块由刚度为 2 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 120 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 20 kgk = 2 kN/mc = 120 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 327.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/5.5 = 10.91 s

距离

d = v·t = 30·10.91 = 327.3 m

答案

d = 327.3 m

此时警车的速度为 2v = 60 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 683.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 34·3 = 102 m/s

h₁ = ½·34·3² = 153 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 102²/(2·9.81) = 530.3 m

h_max = 153 + 530.3 = 683.3 m

答案

h_max = 683.3 m

3.牛顿定律

答案: F = 70.43 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 33.55 + 36.87 = 70.43 N

答案

F = 70.43 N

4.牛顿定律

答案: a = 1.165 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 31.87 N

μ·m₁·g·cos θ = 21.89 N

系统的加速度

a = (73.58 − 31.87 − 21.89)/17 = 1.165 m/s²

答案

a = 1.165 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 45.88 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 40·cos 50° = 25.71 m/s

t = x/v_x = 64/25.71 = 2.489 s

此时的高度

y = 30.64·2.489 − ½·9.81·2.489² = 45.88 m

答案

y = 45.88 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 3.501 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 35° = 12.29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 35° = 8.604 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 8.604·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.604 + √(74.02 + 588.6))/9.81 = 3.501 s

答案

t = 3.501 s

7.圆周运动

答案: v_max = 33.59 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·115) = 33.59 m/s

答案

v_max = 33.59 m/s

(120.9 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.571 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答案

v_min = 3.571 m/s

9.功和能

答案: d = 28.32 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.5·9.81) = 28.32 m

答案

d = 28.32 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 82.63 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.1·1.5) = 170.7 J

最大压缩量

½kx² = 170.7 → x = √(2·170.7/500) = 0.8263 m = 82.63 cm

答案

x = 82.63 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −16.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 12·12 = 144 kg·m/s

碰撞后的动量

144 = 4·69 + 8·v′₂

v′₂ = (144 − 276)/8 = −16.5 m/s

答案

v′₂ = −16.5 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 36.38 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·16.5) = 15.05 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·15.05/1200 = 36.38 m/s

答案

v₁ = 36.38 m/s

(131 km/h)

13.刚体转动

答案: α = 25.73 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 10·9.81/(10 + 5.25) = 6.433 m/s²

角加速度

α = a/R = 6.433/0.25 = 25.73 rad/s²

答案

α = 25.73 rad/s²

14.刚体转动

答案: φ = 51.37 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 2·0.9²/3 + 0.01·0.56² = 0.5431 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·340·0.56/0.5431 = 3.506 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·0.5431·3.506² = 3.337 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 8.884·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 3.337/8.884 = 0.6243 → φ = 51.37°

答案

φ = 51.37°

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 921.6 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·100/300 = 960 rpm

有打滑

n₂ = 960·0.96 = 921.6 rpm

答案

n₂ = 921.6 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 45

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 1440·20/50 = 576 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 25·576/320 = 45

答案

N_D = 45

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.159 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.8/2π)² = 0.159 m

答案

L = 0.159 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 5.667 m/s²

角频率

ω = √(170/3) = 7.528 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.1·7.528² = 5.667 m/s²

答案

a_max = 5.667 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.3

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·20) = 400 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 120/400 = 0.3

答案

ζ = 0.3

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.249 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/20 → k_eq = 100·20/(100 + 20) = 16.67 kN/m

固有频率

ω_n = √(16667/40) = 20.41 rad/s

f_n = 20.41/(2π) = 3.249 Hz

答案

f_n = 3.249 Hz

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