动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 31 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 31 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 5 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 32 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 30 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 65°h_roof = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 190 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 190 mθ = 30°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0.3d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 15 m/s 行驶的 1200 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1200 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 10 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 6.5 kg、长为 2.1 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 6.5 kgL = 2.1 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 10°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮上。紧边张力为 1000 N，松边张力为 500 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 500 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 2880 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 648 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 2880 rpmA = 36B = 80C = 25n_out = 648 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 290 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.45 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3.4 kgk = 290 N/mA = 11 cmt = 0.45 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一颗以 500 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 600 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 500 m/sM = 2.5 kgk = 600 N/m

A = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 4 个周期出现峰值 7.1 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 25 mmx₄ = 7.1 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 20.67 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/3 = 20.67 s

答案

t = 20.67 s

此时警车的速度为 2v = 62 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 41.27 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9.81) = 1.274 m

离地面的高度

h_max = 40 + 1.274 = 41.27 m

答案

h_max = 41.27 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 12.04 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 4.905 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (44.15 − 4.905 − 0)/5.5 = 7.135 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 7.135) = 12.04 N

答案

T = 12.04 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 17.29 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 100°) = 17.29 m/s

答案

v₀ = 17.29 m/s

6.抛体运动

答案: x = 61.89 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 13.52 m/s, v_y = 29 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

30 = 29·t − 4.905·t²

t = (29 + √(29² − 2·9.81·30))/9.81 = 4.576 s

水平距离

x = v_x·t = 13.52·4.576 = 61.89 m

答案

x = 61.89 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·105) = 22.69 m/s

答案

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 48.67 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(190·9.81·0.8464/0.666) = 48.67 m/s

答案

v_max = 48.67 m/s

(175.2 km/h)

9.功和能

答案: d = 50.34 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.5·9.81) = 50.34 m

答案

d = 50.34 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 2.557 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·2.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.3·19.62·2.5 = 14.71 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 9.81 → v = √(2·9.81/3) = 2.557 m/s

答案

v = 2.557 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 60 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·15/3000 = 6 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1200·15² = 135000 J

K_after = ½·3000·6² = 54000 J

损失的比例

ΔK/K = 81000/135000 = 60 %

答案

ΔK/K = 60 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 75 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(20 + 10) = 3 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3/0.04 = 75 N

答案

F_avg = 75 N

13.刚体转动

答案: R = 15.94 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.1) = 7.007 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 6.5·(9.81 − 7.357) = 15.94 N

答案

R = 15.94 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: a = 1.022 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.667 = 1.022 m/s²

答案

a = 1.022 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.745 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 9.49 m/s

功率

P = (1000 − 500)·9.49 = 4745 W = 4.745 kW

答案

P = 4.745 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 50

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 2880·36/80 = 1296 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 25·1296/648 = 50

答案

N_D = 50

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.8627 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(290/3.4) = 9.235 rad/s

ω·t = 9.235·0.45 = 4.156 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.11·9.235·sin(4.156) = 0.8627 m/s

答案

v = 0.8627 m/s

18.弹簧与单摆

答案: A = 15.45 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·500/2.512 = 2.389 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(600/2.512) = 15.45 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.389/15.45 = 0.1545 m = 15.45 cm

答案

A = 15.45 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.05002

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(25/7.1) = 0.3147

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09903) = 0.05002

答案

ζ = 0.05002

20.机械振动

答案: f_n = 8.422 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 100 = 112 kN/m

固有频率

ω_n = √(112000/40) = 52.92 rad/s

f_n = 52.92/(2π) = 8.422 Hz

答案

f_n = 8.422 Hz

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