动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 17 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 170 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 170 Nθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 115 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgF = 115 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 75 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 35 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 2 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 45°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 4 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 4 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 1.1 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 30°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 1.5 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 500 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 500 N/mx = 20 cmθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 24 m/s 向北行驶的 1900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1500 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 24 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 13.5 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 13.5 kgL = 0.5 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 1.5 m 后的速度 v。

θ = 30°s = 1.5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 45 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。忽略损失。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 1.1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 45N₂ = 50η = 100%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（25 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（24 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 25B = 60C = 15D = 24

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 0.9 s，振幅为 18 cm。它从最大位移 18 cm 处运动到位移 12.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 0.9 sA = 18 cmx = 12.6 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 150 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 10 kgk = 150 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 15 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 6.667 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7.5) = 6.667 m

答案

s = 6.667 m

2.运动学

答案: h_max = 39.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

h_max = 25 + 14.73 = 39.73 m

答案

h_max = 39.73 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.763 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 170·sin 15° = 201.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 164.2 − 20.13

a = 144.1/25 = 5.763 m/s²

答案

a = 5.763 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 86.25 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 23.54)/12 = 7.621 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(7.621 + 1.962) = 86.25 N

答案

T = 86.25 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 27.98 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·75/sin 110°) = 27.98 m/s

答案

v₀ = 27.98 m/s

6.抛体运动

答案: x = 122.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 24.75 m/s, v_y = 24.75 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

2 = 24.75·t − 4.905·t²

t = (24.75 + √(24.75² − 2·9.81·2))/9.81 = 4.963 s

水平距离

x = v_x·t = 24.75·4.963 = 122.8 m

答案

x = 122.8 m

7.圆周运动

答案: ω = 1.751 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·4)) = 1.751 rad/s

答案

ω = 1.751 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 21.59 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·3²/1.1 = 11.77 + 9.818 = 21.59 N

答案

T = 21.59 N

9.功和能

答案: T = 6.219 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 30°) = 3.943 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·3.943/1.5 = 6.219 N

答案

T = 6.219 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 6.219 N。

10.功和能

答案: d = 0.6412 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·500·0.2² = 10 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(29.43·(0.342 + 0.2·0.9397)) = 0.6412 m

答案

d = 0.6412 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.273 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 3.5)/(2 + 3.5)·12 = −3.273 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3.5)·12 = 8.727 m/s

答案

v′₁ = −3.273 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 15.59 m/s

动量分量

p_x = 1500·18 = 27000 kg·m/s

p_y = 1900·24 = 45600 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 52994/3400 = 15.59 m/s

答案

v′ = 15.59 m/s

13.刚体转动

答案: R = 33.11 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.5) = 29.43 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 13.5·(9.81 − 7.357) = 33.11 N

答案

R = 33.11 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: v = 3.242 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 1.5·sin 30° = 0.75 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·0.75/1.4) = 3.242 m/s

答案

v = 3.242 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 7.295 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150.8 = 7.295 N·m

答案

T₁ = 7.295 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 755.2 rpm

第一级

n_B = 2900·25/60 = 1208 rpm = n_C

第二级

n_out = 1208·15/24 = 755.2 rpm

答案

n_out = 755.2 rpm

总传动比 = 3.84 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 0.8971 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

答案

T = 0.8971 s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.1139 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/0.9 = 6.981 rad/s

求解时间

0.7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.7) = 0.7954 rad

t = 0.7954/6.981 = 0.1139 s

答案

t = 0.1139 s

19.机械振动

答案: f_d = 18.26 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(150000/10) = 122.5 rad/s

f_n = 122.5/(2π) = 19.49 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 19.49·√(1 − 0.35²) = 18.26 Hz

答案

f_d = 18.26 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.705 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 80 + 60 = 140 kN/m

k_eq = 140·15/(140 + 15) = 13.55 kN/m

固有频率

ω_n = √(13548/25) = 23.28 rad/s

f_n = 23.28/(2π) = 3.705 Hz

答案

f_n = 3.705 Hz

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