动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 45 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.9 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 30° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 25 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 25 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.3d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 225 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 225 Nθ = 30°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 10 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 1.5 kgh = 10 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 26 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一个 1.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 7 kg、半径为 0.4 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 1.5 kgM = 7 kgR = 0.4 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

质量为 8.5 kg、长为 0.6 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 45 g 的子弹以 340 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.49 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 8.5 kgL = 0.6 mm = 45 gv = 340 m/sd = 0.49 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一个 100 mm 的带轮以 1500 rpm 通过皮带驱动一个 200 mm 的带轮，打滑率为 1.5 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1500 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 200 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 15 个齿，每个行星轮有 12 个齿。行星架固定，太阳轮以 1500 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 15N_p = 12n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.5 kg 的物体连在 k = 110 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.5 kgk = 110 N/mA = 4 cm

E = J

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 5 个周期出现峰值 2.5 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 12 mmx₅ = 2.5 mmn = 5

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 1.786 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/7 = 1.786 s

答案

t = 1.786 s

2.运动学

答案: d = 103.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1681 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1681))/(2·4.905) = 4.598 s

深度

d = ½·9.81·4.598² = 103.7 m

答案

d = 103.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 5.91 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·7.636) = 5.91 m

答案

d = 5.91 m

5.抛体运动

答案: t = 2.371 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31.95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11.63 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.63/9.81 = 2.371 s

答案

t = 2.371 s

6.抛体运动

答案: t = 3.678 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15.32 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 15.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.32 + √(234.7 + 196.2))/9.81 = 3.678 s

答案

t = 3.678 s

7.圆周运动

答案: v_max = 9.905 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·25) = 9.905 m/s

答案

v_max = 9.905 m/s (35.66 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.971 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答案

v_min = 2.971 m/s

9.功和能

答案: v = 13.22 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 13.22 m/s

答案

v = 13.22 m/s

10.功和能

答案: v = 7.77 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 73.57 N

μ·mg·cos θ = 38.23 N

功–能关系

½mv² = (225 − 111.8)·4 = 452.8 J

v = √(2·452.8/15) = 7.77 m/s

答案

v = 7.77 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 141.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.1) = 1.401 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 1.5)·1.401/0.015 = 141.5 m/s

答案

v = 141.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 287.5 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(20 + 26) = 11.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.5/0.04 = 287.5 N

答案

F_avg = 287.5 N

13.刚体转动

答案: α = 7.357 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 1.5·9.81/(1.5 + 3.5) = 2.943 m/s²

角加速度

α = a/R = 2.943/0.4 = 7.357 rad/s²

答案

α = 7.357 rad/s²

14.刚体转动

答案: φ = 94.62 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 8.5·0.6²/3 + 0.045·0.49² = 1.031 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.045·340·0.49/1.031 = 7.273 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·1.031·7.273² = 27.26 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 25.23·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 27.26/25.23 = −0.08049 → φ = 94.62°

答案

φ = 94.62°

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 738.8 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1500·100/200 = 750 rpm

有打滑

n₂ = 750·0.985 = 738.8 rpm

答案

n₂ = 738.8 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 576.9 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·12 = 39

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·15/39 = −576.9 rpm

|n_r| = 576.9 rpm

答案

n_r = 576.9 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.006 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1/9.81) = 2.006 s

答案

T = 2.006 s

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.088 J

角频率

ω = √(110/2.5) = 6.633 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·110·0.04² = 0.088 J

答案

E = 0.088 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.04987

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(12/2.5) = 0.3137

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3137/√(39.48 + 0.09842) = 0.04987

答案

ζ = 0.04987

20.机械振动

答案: f_n = 5.812 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/10 + 1/20 → k_eq = 10·20/(10 + 20) = 6.667 kN/m

固有频率

ω_n = √(6667/5) = 36.51 rad/s

f_n = 36.51/(2π) = 5.812 Hz

答案

f_n = 5.812 Hz

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