动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 700 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 190 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 40 kgF = 190 Nθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 125 N 的水平力拉前面 9 kg 的物块；12 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 12 kgm₂ = 9 kgF = 125 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 33 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 1.6 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 20° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.6 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.1 kgr = 1.5 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 2°F_r = 200 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 21 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 10.5 kg、长为 0.9 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 10.5 kgL = 0.9 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 720 rpm 转动、直径 160 mm 的主动轮上。紧边张力为 400 N，松边张力为 120 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 400 NT₂ = 120 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 315 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 100 mmd₂ = 315 mmC = 600 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.8 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.38 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.8 mT = 4.38 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 0.8 kg 的物体连在 k = 440 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.8 kgk = 440 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 12 kgk = 50 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 62.05 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·700) = 62.05 m/s

答案

v = 62.05 m/s

(223.4 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 6.274 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9.81) = 1.274 m

离地面的高度

h_max = 5 + 1.274 = 6.274 m

答案

h_max = 6.274 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 190·sin 30° = 297.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 164.5 − 59.48

a = 105.1/40 = 2.627 m/s²

答案

a = 2.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.99 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 41.2)/21 = 3.99 m/s²

答案

a = 3.99 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 1.395 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18.79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6.84 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·6.84/9.81 = 1.395 s

答案

t = 1.395 s

6.抛体运动

答案: t = 4.533 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 35° = 27.03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 35° = 18.93 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 18.93·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.93 + √(358.3 + 294.3))/9.81 = 4.533 s

答案

t = 4.533 s

7.圆周运动

答案: T = 2.46 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.6·sin 20° = 0.5472 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5472·9.81·tan 20°) = 1.398 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.5472/1.398 = 2.46 s

答案

T = 2.46 s

8.圆周运动

答案: T = 32.97 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·5.5²/1.5 = 10.79 + 22.18 = 32.97 N

答案

T = 32.97 N

9.功和能

答案: P = 6.108 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 2° = 410.8 N

F = 410.8 + 200 = 610.8 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 610.8·10 = 6108 W = 6.108 kW

答案

P = 6.108 kW

10.功和能

答案: x = 40.92 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3.5 − 0.2·1.5) = 125.6 J

最大压缩量

½kx² = 125.6 → x = √(2·125.6/1500) = 0.4092 m = 40.92 cm

答案

x = 40.92 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 3.5)/(0.5 + 3.5)·6 = −4.5 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 3.5)·6 = 1.5 m/s

答案

v′₂ = 1.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 6.15 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(20 + 21) = 6.15 N·s

答案

J = 6.15 N·s

13.刚体转动

答案: R = 25.75 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.9) = 16.35 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 10.5·(9.81 − 7.357) = 25.75 N

答案

R = 25.75 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.05038

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.4 = 1.217 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.4·tan 10°/1.4 = 0.05038

答案

μ_s = 0.05038

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.689 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 6.032 m/s

功率

P = (400 − 120)·6.032 = 1689 W = 1.689 kW

答案

P = 1.689 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 159.4 °

皮带角

asin(0.1792) = 10.32°

包角

θ = 180 − 2·10.32 = 159.4°

答案

θ = 159.4°

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.704 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.8/4.38² = 3.704 m/s²

答案

g = 3.704 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 11 m/s²

角频率

ω = √(440/0.8) = 23.45 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.02·23.45² = 11 m/s²

答案

a_max = 11 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 9.416 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(50000/12) = 64.55 rad/s

f_n = 64.55/(2π) = 10.27 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.27·√(1 − 0.4²) = 9.416 Hz

答案

f_d = 9.416 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.746 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 15 + 30 = 45 kN/m

k_eq = 45·20/(45 + 20) = 13.85 kN/m

固有频率

ω_n = √(13846/25) = 23.53 rad/s

f_n = 23.53/(2π) = 3.746 Hz

答案

f_n = 3.746 Hz

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