动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 100 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 100 km/ht_r = 1.5 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 7.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 300 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 300 mθ = 25°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 500 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 3°F_r = 500 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 5 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 8 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 600 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 20 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 12.5 kg、长为 2.8 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 12.5 kgL = 2.8 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个空心球从静止开始，沿与水平面成 20° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.15 m。求它沿斜面滚过 5 m 后的角速度 ω。

θ = 20°s = 5 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.15 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 720 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 500 N，松边张力为 125 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 500 NT₂ = 125 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 960 rpmA = 15B = 48C = 20D = 80

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 330 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.7 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3.4 kgk = 330 N/mA = 11 cmt = 0.7 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.5 kg 的物体连在 k = 260 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.5 kgk = 260 N/mA = 7 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 200 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 200 kgk = 40 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 127.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 27.78·1.5 = 41.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·4.5) = 85.73 m

合计

d = 41.67 + 85.73 = 127.4 m

答案

d = 127.4 m

2.运动学

答案: t = 2.892 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.892 s

答案

t = 2.892 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.631 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答案

a = 3.631 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 68.89 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 36.79 N

μ·m₁·g·cos θ = 15.93 N

系统的加速度

a = (88.29 − 36.79 − 15.93)/16.5 = 2.156 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9.81 − 2.156) = 68.89 N

答案

T = 68.89 N

5.抛体运动

答案: t = 1.916 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 70° = 3.42 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 70° = 9.397 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9.397/9.81 = 1.916 s

答案

t = 1.916 s

6.抛体运动

答案: t = 2.232 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 15° = 24.15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 15° = 6.47 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 6.47·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.47 + √(41.87 + 196.2))/9.81 = 2.232 s

答案

t = 2.232 s

7.圆周运动

答案: v_max = 24.26 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·100) = 24.26 m/s

答案

v_max = 24.26 m/s (87.34 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 44.16 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(300·9.81·0.5586/0.8429) = 44.16 m/s

答案

v_max = 44.16 m/s

(159 km/h)

9.功和能

答案: P = 38.17 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 3° = 1027 N

F = 1027 + 500 = 1527 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1527·25 = 38171 W = 38.17 kW

答案

P = 38.17 kW

10.功和能

答案: x = 30.2 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.1·3.5) = 45.62 J

最大压缩量

½kx² = 45.62 → x = √(2·45.62/1000) = 0.302 m = 30.2 cm

答案

x = 30.2 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 8727 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·8/1100 = 4.364 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·8² = 19200 J

K_after = ½·1100·4.364² = 10473 J

损失的能量

ΔK = 19200 − 10473 = 8727 J

答案

ΔK = 8727 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 16 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(12 + 20) = 16 N·s

答案

J = 16 N·s

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.8) = 5.255 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 5.255·2.8 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: ω = 29.91 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 5·sin 20° = 1.71 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·1.71/1.667) = 4.487 m/s

ω = v/r = 4.487/0.15 = 29.91 rad/s

答案

ω = 29.91 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.131 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 3.016 m/s

功率

P = (500 − 125)·3.016 = 1131 W = 1.131 kW

答案

P = 1.131 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 75 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 960·15/48 = 300 rpm = n_C

第二级

n_out = 300·20/80 = 75 rpm

答案

n_out = 75 rpm

总传动比 = 12.8 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = −0.6236 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(330/3.4) = 9.852 rad/s

ω·t = 9.852·0.7 = 6.896 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.11·9.852·sin(6.896) = −0.6236 m/s

答案

v = −0.6236 m/s

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.637 J

角频率

ω = √(260/1.5) = 13.17 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·260·0.07² = 0.637 J

答案

E = 0.637 J

19.机械振动

答案: f_d = 2.01 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/200) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.45²) = 2.01 Hz

答案

f_d = 2.01 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.112 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 60 + 5 = 65 kN/m

k_eq = 65·20/(65 + 20) = 15.29 kN/m

固有频率

ω_n = √(15294/40) = 19.55 rad/s

f_n = 19.55/(2π) = 3.112 Hz

答案

f_n = 3.112 Hz

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