动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 1.3 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 30 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.1 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.1 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个半径为 200 m 的弯道倾斜 15°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 200 mθ = 15°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 4 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 24.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 800 kgm₂ = 1300 kgd = 24.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一个 13.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 13.5 kg、半径为 0.5 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块下落 1.5 m 后的速度 v。

m = 13.5 kgM = 13.5 kgR = 0.5 mg = 9.81 m/s²h = 1.5 m

v = m/s

14.刚体转动困难

一个实心圆柱沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 30°I = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 5.5 kWn = 1450 rpmN₁ = 20m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（30 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 15B = 30C = 25D = 30

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 2 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.78 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 2 mT = 1.78 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 0.6 s，振幅为 13 cm。它从最大位移 13 cm 处运动到位移 11.7 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 0.6 sA = 13 cmx = 11.7 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 2 个周期出现峰值 13.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 20 mmx₂ = 13.7 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 39.03 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1.3 = 21.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

合计

d = 21.67 + 17.36 = 39.03 m

答案

d = 39.03 m

2.运动学

答案: t = 4.098 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.098 s

答案

t = 4.098 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.5897 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答案

a = 0.5897 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 8.093 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 1.472)/3 = 4.415 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·4.415 + 1.472 = 8.093 N

答案

T = 8.093 N

5.抛体运动

答案: H = 18.95 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19.28 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 19.28²/(2·9.81) = 18.95 m

答案

H = 18.95 m

6.抛体运动

答案: t = 4.369 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 50° = 14.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 50° = 16.85 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 16.85·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.85 + √(284 + 392.4))/9.81 = 4.369 s

答案

t = 4.369 s

7.圆周运动

答案: ω = 2.416 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·2.1)) = 2.416 rad/s

答案

ω = 2.416 rad/s

8.圆周运动

答案: v_max = 27.24 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(200·9.81·0.3554/0.94) = 27.24 m/s

答案

v_max = 27.24 m/s

(98.05 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 25.49 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.866 = 21.24 N

F = μN = 0.2·21.24 = 4.248 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.248·6 = 25.49 J

答案

W_f = 25.49 J

10.功和能

答案: x = 26.76 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4 − 0.1·3.5) = 71.61 J

最大压缩量

½kx² = 71.61 → x = √(2·71.61/2000) = 0.2676 m = 26.76 cm

答案

x = 26.76 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 2.5)/(1.5 + 2.5)·12 = −3 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2.5)·12 = 9 m/s

答案

v′₁ = −3 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 49.84 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·24.5) = 18.99 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·18.99/800 = 49.84 m/s

答案

v₁ = 49.84 m/s

(179.4 km/h)

13.刚体转动

答案: v = 4.429 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 13.5·9.81/(13.5 + 6.75) = 6.54 m/s²

下落后的速度

v = √(2·a·h) = √(2·6.54·1.5) = 4.429 m/s

答案

v = 4.429 m/s

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.1925

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.5·m·r²·(a/r) → f = 0.5·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/1.5 = 3.27 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.5·tan 30°/1.5 = 0.1925

答案

μ_s = 0.1925

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 1207 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 5500/151.8 = 36.22 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·20 = 60 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·36.22/0.06 = 1207 N

答案

F_t = 1207 N

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 1250 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·15/30 = 1500 rpm = n_C

第二级

n_out = 1500·25/30 = 1250 rpm

答案

n_out = 1250 rpm

总传动比 = 2.4 : 1

17.弹簧与单摆

答案: g = 24.92 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/1.78² = 24.92 m/s²

答案

g = 24.92 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.04307 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/0.6 = 10.47 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/10.47 = 0.04307 s

答案

t = 0.04307 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.03009

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(20/13.7) = 0.1892

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1892/√(39.48 + 0.03578) = 0.03009

答案

ζ = 0.03009

20.机械振动

答案: k_eq = 85 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 25 + 60 = 85 kN/m

答案

k_eq = 85 kN/m

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