动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 1600 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 22 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 22 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 50 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 10 kgF = 50 Nθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 11 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 11 m/sθ = 65°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.5 kgr = 0.9 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 800 kgd = 21 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 6.5 kg、长为 0.7 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 3 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 6.5 kgL = 0.7 mm_ball = 3 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个空心球从静止开始，沿与水平面成 20° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.3 m。求它沿斜面滚过 6 m 后的角速度 ω。

θ = 20°s = 6 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 2.2 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 40 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 48 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 2.2 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 40N₂ = 48η = 95%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 200 mm 的带轮和一个 300 mm 的带轮，二者中心相距 800 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 200 mmd₂ = 300 mmC = 800 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 220 N/m 弹簧上的 0.7 kg 物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 0.7 kgk = 220 N/mA = 5 cmx = 1 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.7 kg 的物体连在 k = 90 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.7 kgk = 90 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块由刚度为 8 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 60 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 2 kgk = 8 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.89 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·1600) = 1.89 m/s²

答案

a = 1.89 m/s²

2.运动学

答案: t = 17.82 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 22·3 = 66 m/s

h₁ = ½·22·3² = 99 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (66 + √(66² + 2·9.81·99))/9.81 = 14.82 s

t = 3 + 14.82 = 17.82 s

答案

t = 17.82 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.181 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 98.1 − 50·sin 40° = 65.96 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 38.3 − 16.49

a = 21.81/10 = 2.181 m/s²

答案

a = 2.181 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.166 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 2.943)/3.5 = 6.166 m/s²

答案

a = 6.166 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 57.82 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 40° = 18.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 40° = 15.43 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15.43/9.81 = 3.145 s

水平距离

x = v_x·t = 18.39·3.145 = 57.82 m

答案

x = 57.82 m

6.抛体运动

答案: H = 10.07 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 11·sin 65° = 9.969 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 9.969²/(2·9.81) = 5.066 m

离地面的高度

H = 5 + 5.066 = 10.07 m

答案

H = 10.07 m

7.圆周运动

答案: v_max = 26.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·120) = 26.58 m/s

答案

v_max = 26.58 m/s (95.68 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 128.1 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11² − 4·9.81·0.9 = 85.68 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.5·85.68/0.9 − 1.5·9.81 = 128.1 N

答案

T_top = 128.1 N

9.功和能

答案: d = 20.23 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.7·9.81) = 20.23 m

答案

d = 20.23 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 46.88 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.1·3) = 164.8 J

最大压缩量

½kx² = 164.8 → x = √(2·164.8/1500) = 0.4688 m = 46.88 cm

答案

x = 46.88 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.7143 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 3)/(4 + 3)·5 = 0.7143 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3)·5 = 5.714 m/s

答案

v′₁ = 0.7143 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 22.71 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·21) = 15.72 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·15.72/1800 = 22.71 m/s

答案

v₁ = 22.71 m/s

(81.76 km/h)

13.刚体转动

答案: ω = 5.823 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6.5·9.81·0.35 + 3·9.81·0.7 = 42.92 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 1.062 + 1.47 = 2.532 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 42.92 → ω = √(2·42.92/2.532) = 5.823 rad/s

答案

ω = 5.823 rad/s

14.刚体转动

答案: ω = 16.38 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 6·sin 20° = 2.052 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·2.052/1.667) = 4.915 m/s

ω = v/r = 4.915/0.3 = 16.38 rad/s

答案

ω = 16.38 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 14.49 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/151.8 = 14.49 N·m

答案

T₁ = 14.49 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 172.8 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.0625) = 3.583°

包角

θ = 180 − 2·3.583 = 172.8°

答案

θ = 172.8°

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.8685 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(220/0.7) = 17.73 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 17.73·√(0.05² − 0.01²) = 0.8685 m/s

答案

v = 0.8685 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.866 m/s

角频率

ω = √(90/2.7) = 5.774 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.15·5.774 = 0.866 m/s

答案

v_max = 0.866 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.2372

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·2) = 253 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 60/253 = 0.2372

答案

ζ = 0.2372

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 55 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 15 + 40 = 55 kN/m

答案

k_eq = 55 kN/m

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