动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 0.8 sa = −5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 20 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 31 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 31 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 135 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 1.3 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 10.4 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 1 kgh = 10.4 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 3 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3.5 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 25 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一台电动机用 47 s 把转动惯量为 0.5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 2000 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 0.5 kg·m²n = 2000 rpmt = 47 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

质量为 6.5 kg、长为 0.8 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 5 g 的子弹以 520 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.47 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 6.5 kgL = 0.8 mm = 5 gv = 520 m/sd = 0.47 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 22 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 30、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 22 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 5 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（30 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 16B = 30C = 12D = 25

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 130 N/m 弹簧上的 3.6 kg 物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 11 cm 时的速度 v。

m = 3.6 kgk = 130 N/mA = 14 cmx = 11 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一颗以 200 m/s 运动的 10 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1700 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 10 gv = 200 m/sM = 3.5 kgk = 1700 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 150 kgk = 200 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 30.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·0.8 = 11.11 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5) = 19.29 m

合计

d = 11.11 + 19.29 = 30.4 m

答案

d = 30.4 m

2.运动学

答案: t = 3.785 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.785 s

答案

t = 3.785 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.368 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答案

a = 2.368 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 33.59 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 17.17)/11.5 = 2.346 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·2.346 + 17.17 = 33.59 N

答案

T = 33.59 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 14.45 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·20/sin 110°) = 14.45 m/s

答案

v₀ = 14.45 m/s

6.抛体运动

答案: H = 61.74 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 31·sin 60° = 26.85 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 26.85²/(2·9.81) = 36.74 m

离地面的高度

H = 25 + 36.74 = 61.74 m

答案

H = 61.74 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.19 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·135) = 28.19 m/s

答案

v_max = 28.19 m/s (101.5 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 84.62 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·6.5²/1.3 = 19.62 + 65 = 84.62 N

答案

T = 84.62 N

9.功和能

答案: h = 1.019 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 5/4.905 = 1.019 m

答案

h = 1.019 m

10.功和能

答案: v = 6.862 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.4 − 8) = 47.09 m²/s²

v = 6.862 m/s

答案

v = 6.862 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 224.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3.5)·0.7672/0.012 = 224.5 m/s

答案

v = 224.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 20.35 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(12 + 25) = 20.35 N·s

答案

J = 20.35 N·s

13.刚体转动

答案: P_avg = 0.2333 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2000/60 = 209.4 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·0.5·209.4² = 10966 J

平均功率

P_avg = E/t = 10966/47 = 233.3 W = 0.2333 kW

答案

P_avg = 0.2333 kW

14.刚体转动

答案: ω = 0.8805 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 6.5·0.8²/3 + 0.005·0.47² = 1.388 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.005·520·0.47/1.388 = 0.8805 rad/s

答案

ω = 0.8805 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 1945 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 22000/150.8 = 145.9 N·m

分度圆直径

d = m·N = 5·30 = 150 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·145.9/0.15 = 1945 N

答案

F_t = 1945 N

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 768 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·16/30 = 1600 rpm = n_C

第二级

n_out = 1600·12/25 = 768 rpm

答案

n_out = 768 rpm

总传动比 = 3.906 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.5204 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(130/3.6) = 6.009 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 6.009·√(0.14² − 0.11²) = 0.5204 m/s

答案

v = 0.5204 m/s

18.弹簧与单摆

答案: A = 2.589 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.01·200/3.51 = 0.5698 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/3.51) = 22.01 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.5698/22.01 = 0.02589 m = 2.589 cm

答案

A = 2.589 cm

19.机械振动

答案: f_d = 5.033 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(200000/150) = 36.51 rad/s

f_n = 36.51/(2π) = 5.812 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.812·√(1 − 0.5²) = 5.033 Hz

答案

f_d = 5.033 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 45 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 25 + 20 = 45 kN/m

答案

k_eq = 45 kN/m

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