动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 260 km/h 的速度，可用跑道长 2300 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 260 km/hs = 2300 m

a = m/s²

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 40 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

质量为 5.5 kg 和 2.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 4.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 4.5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 23 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 23 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 65 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 65 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.7 kgr = 1.5 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 15 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.25d = 15 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 19 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一根轴在 1900 rpm 时传递 56 kW。求轴中的转矩 T。

P = 56 kWn = 1900 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

质量为 5 kg、长为 2 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 20 g 的子弹以 360 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.95 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 5 kgL = 2 mm = 20 gv = 360 m/sd = 1.95 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 960 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮上。紧边张力为 500 N，松边张力为 100 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 500 NT₂ = 100 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 30 个齿，每个行星轮有 20 个齿。齿圈固定，太阳轮以 900 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 30N_p = 20n_s = 900 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.5 kg 的物体连在 k = 210 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.5 kgk = 210 N/mA = 5 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 80 kg 的质量块由刚度为 10 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 360 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 80 kgk = 10 kN/mc = 360 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.134 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·2300) = 1.134 m/s²

答案

a = 1.134 m/s²

2.运动学

答案: y = 25.16 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 40/23 = 1.739 s

相遇高度

y = 23·1.739 − ½·9.81·1.739² = 25.16 m

答案

y = 25.16 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.679 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (5.5 − 2.5)·9.81/(5.5 + 2.5) = 3.679 m/s²

答案

a = 3.679 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 39.25 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 25.32 N

μ·m₁·g·cos θ = 9.04 N

系统的加速度

a = (44.15 − 25.32 − 9.04)/9 = 1.087 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 1.087) = 39.25 N

答案

T = 39.25 N

5.抛体运动

答案: x = 9.579 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.192/9.81 = 1.67 s

水平距离

x = v_x·t = 5.736·1.67 = 9.579 m

答案

x = 9.579 m

6.抛体运动

答案: H = 30.82 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 23·sin 50° = 17.62 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 17.62²/(2·9.81) = 15.82 m

离地面的高度

H = 15 + 15.82 = 30.82 m

答案

H = 30.82 m

7.圆周运动

答案: v_max = 21.13 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·65) = 21.13 m/s

答案

v_max = 21.13 m/s (76.06 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 72.21 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·7²/1.5 = 16.68 + 55.53 = 72.21 N

答案

T = 72.21 N

9.功和能

答案: W_f = 104.1 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.7071 = 27.75 N

F = μN = 0.25·27.75 = 6.937 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.937·15 = 104.1 J

答案

W_f = 104.1 J

10.功和能

答案: d = 1.522 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(49.05·(0.2588 + 0.2·0.9659)) = 1.522 m

答案

d = 1.522 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 4.5)/(3 + 4.5)·6 = −1.2 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4.5)·6 = 4.8 m/s

答案

v′₁ = −1.2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 238 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(15 + 19) = 11.9 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.9/0.05 = 238 N

答案

F_avg = 238 N

13.刚体转动

答案: T = 281.5 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

扭矩

T = P/ω = 56000/199 = 281.5 N·m

答案

T = 281.5 N·m

14.刚体转动

答案: φ = 45.23 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 5·2²/3 + 0.02·1.95² = 6.743 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.02·360·1.95/6.743 = 2.082 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·6.743·2.082² = 14.62 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 49.43·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 14.62/49.43 = 0.7043 → φ = 45.23°

答案

φ = 45.23°

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.016 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 7.54 m/s

功率

P = (500 − 100)·7.54 = 3016 W = 3.016 kW

答案

P = 3.016 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 270 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·20 = 70

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −70/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·30/100 = 270 rpm

答案

n_c = 270 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.042 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

答案

T = 3.042 s

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.2625 J

角频率

ω = √(210/2.5) = 9.165 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·210·0.05² = 0.2625 J

答案

E = 0.2625 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.2012

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·80) = 1789 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 360/1789 = 0.2012

答案

ζ = 0.2012

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 1.761 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 12 + 12 = 24 kN/m

k_eq = 24·25/(24 + 25) = 12.24 kN/m

固有频率

ω_n = √(12245/100) = 11.07 rad/s

f_n = 11.07/(2π) = 1.761 Hz

答案

f_n = 1.761 Hz

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