动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 55 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 55 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 35 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 75 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 4 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 70°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 310 m 的弯道倾斜 12°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 310 mθ = 12°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 15° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 11 m 后的速度 v。

θ = 15°μ = 0.1d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.25k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 8 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一根轴在 600 rpm 时传递 188 kW。求轴中的转矩 T。

P = 188 kWn = 600 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 7 m 需要多长时间 t？

θ = 30°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 7 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 90 mm。须用一对模数为 2.5 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 90 mmm = 2.5 mmi = 3

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮与一个 500 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 500 mmC = 500 mmμ = 0.25T₁ = 2000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的 1.9 kg 物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 12 cm 时的速度 v。

m = 1.9 kgk = 380 N/mA = 13 cmx = 12 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 150 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.1 kgk = 150 N/mA = 8 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 2 kgk = 15 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.349 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/3.5 = 6.349 s

答案

t = 6.349 s

2.运动学

答案: y = 26.95 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

55 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 55/23 = 2.391 s

相遇高度

y = 23·2.391 − ½·9.81·2.391² = 26.95 m

答案

y = 26.95 m

3.牛顿定律

答案: F = 299.6 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 220.7 + 78.91 = 299.6 N

答案

F = 299.6 N

4.牛顿定律

答案: d = 6.833 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·6.604) = 6.833 m

答案

d = 6.833 m

5.抛体运动

答案: θ = 19.76 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·75/34² = 0.6365

相角

2θ = 39.53° → θ = 19.76°

答案

θ = 19.76°

另一个解为 90° − θ = 70.24°。

6.抛体运动

答案: x = 69.87 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 11.29 m/s, v_y = 31.01 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

4 = 31.01·t − 4.905·t²

t = (31.01 + √(31.01² − 2·9.81·4))/9.81 = 6.19 s

水平距离

x = v_x·t = 11.29·6.19 = 69.87 m

答案

x = 69.87 m

7.圆周运动

答案: v = 25.42 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(310·9.81·tan 12°) = 25.42 m/s

答案

v = 25.42 m/s

(91.53 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.426 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答案

v_min = 2.426 m/s

9.功和能

答案: v = 5.917 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.2588 − 0.1·0.9659)) = 5.917 m/s

答案

v = 5.917 m/s

10.功和能

答案: x = 24.26 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.25·4) = 14.71 J

最大压缩量

½kx² = 14.71 → x = √(2·14.71/500) = 0.2426 m = 24.26 cm

答案

x = 24.26 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.273 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1)/(4.5 + 1)·2 = 1.273 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1)·2 = 3.273 m/s

答案

v′₁ = 1.273 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 6.9 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(15 + 8) = 6.9 N·s

答案

J = 6.9 N·s

13.刚体转动

答案: T = 2992 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

扭矩

T = P/ω = 188000/62.83 = 2992 N·m

答案

T = 2992 N·m

14.刚体转动

答案: t = 2.181 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/1.667 = 2.943 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·7/2.943) = 2.181 s

答案

t = 2.181 s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 54

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2.5 = 72

按传动比分配

N₁ = 72/(1 + 3) = 18

N₂ = 3·18 = 54

答案

N₂ = 54

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 6.858 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.426 rad

松边张力

e^μθ = e^0.6066 = 1.834, T₂ = 2000/1.834 = 1090 N

功率

P = (2000 − 1090)·7.54 = 6.858 kW

答案

P = 6.858 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.7071 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(380/1.9) = 14.14 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 14.14·√(0.13² − 0.12²) = 0.7071 m/s

答案

v = 0.7071 m/s

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.48 J

角频率

ω = √(150/3.1) = 6.956 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·150·0.08² = 0.48 J

答案

E = 0.48 J

19.机械振动

答案: f_d = 12.91 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(15000/2) = 86.6 rad/s

f_n = 86.6/(2π) = 13.78 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 13.78·√(1 − 0.35²) = 12.91 Hz

答案

f_d = 12.91 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 140 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 60 + 80 = 140 kN/m

答案

k_eq = 140 kN/m

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