动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 18 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 18 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.9 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 20° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 6.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 12 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 12 m/sθ = 25°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 135 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.2d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 21 m/s 向东行驶的 1800 kg 汽车与一辆以 17 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1800 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 17 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

质量为 4.5 kg、长为 0.9 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 4.5 kgL = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

质量为 5 kg、长为 1.9 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 20 g 的子弹以 500 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.76 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 5 kgL = 1.9 mm = 20 gv = 500 m/sd = 0.76 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 100 mm 的带轮以 1500 rpm 通过皮带驱动一个 300 mm 的带轮，打滑率为 2.5 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1500 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 300 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 405 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1500 rpmA = 36B = 60C = 18n_out = 405 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 3.3 kg 的物体连在 k = 460 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.3 kgk = 460 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 3 个周期出现峰值 11.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₃ = 11.7 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 80 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 18 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/2 = 18 s

答案

t = 18 s

此时警车的速度为 2v = 36 m/s。

2.运动学

答案: d = 67.29 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1338 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1338))/(2·4.905) = 3.704 s

深度

d = ½·9.81·3.704² = 67.29 m

答案

d = 67.29 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.355 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0) = 3.355 m/s²

答案

a = 3.355 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 0.9168 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 49.05 N

m₁·g·sin θ = 26.95 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.56 N

系统的加速度

a = (49.05 − 26.95 − 11.56)/11.5 = 0.9168 m/s²

答案

a = 0.9168 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 1.076 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 12·cos 25° = 10.88 m/s

t = x/v_x = 8/10.88 = 0.7356 s

此时的高度

y = 5.071·0.7356 − ½·9.81·0.7356² = 1.076 m

答案

y = 1.076 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: t = 4.456 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 14·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14 + √(196 + 686.7))/9.81 = 4.456 s

答案

t = 4.456 s

7.圆周运动

答案: v_max = 28.19 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·135) = 28.19 m/s

答案

v_max = 28.19 m/s (101.5 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.571 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答案

v_min = 3.571 m/s

9.功和能

答案: W_f = 55.49 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.7071 = 13.87 N

F = μN = 0.2·13.87 = 2.775 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.775·20 = 55.49 J

答案

W_f = 55.49 J

10.功和能

答案: v = 9.078 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.2·4) = 41.2 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.2) = 9.078 m/s

答案

v = 9.078 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.857 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 1.5)/(2 + 1.5)·6 = 0.8571 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1.5)·6 = 6.857 m/s

答案

v′₂ = 6.857 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 30.31 °

动量分量

p_x = 1800·21 = 37800 kg·m/s

p_y = 1300·17 = 22100 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.5847 → θ = 30.31°

答案

θ = 30.31°

13.刚体转动

答案: v = 5.147 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 4.5·9.81·0.45 = 19.87 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 4.5·0.9²/3 = 1.215 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 19.87 → ω = √(2·19.87/1.215) = 5.718 rad/s

v = ω·L = 5.718·0.9 = 5.147 m/s

答案

v = 5.147 m/s

14.刚体转动

答案: ω = 1.261 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 5·1.9²/3 + 0.02·0.76² = 6.028 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.02·500·0.76/6.028 = 1.261 rad/s

答案

ω = 1.261 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 487.5 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1500·100/300 = 500 rpm

有打滑

n₂ = 500·0.975 = 487.5 rpm

答案

n₂ = 487.5 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 40

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 1500·36/60 = 900 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 18·900/405 = 40

答案

N_D = 40

17.弹簧与单摆

答案: T = 0.8971 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

答案

T = 0.8971 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.3542 m/s

角频率

ω = √(460/3.3) = 11.81 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.03·11.81 = 0.3542 m/s

答案

v_max = 0.3542 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.04989

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(30/11.7) = 0.3139

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3139/√(39.48 + 0.09851) = 0.04989

答案

ζ = 0.04989

20.机械振动

答案: f_n = 4.393 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 20 + 5 = 25 kN/m

k_eq = 25·80/(25 + 80) = 19.05 kN/m

固有频率

ω_n = √(19048/25) = 27.6 rad/s

f_n = 27.6/(2π) = 4.393 Hz

答案

f_n = 4.393 Hz

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