动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.4 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 15 kgθ = 15°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 40 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；6 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgF = 40 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 20 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 11 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 11 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 30 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 30 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.5 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.5 kgr = 0.5 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 25°μ = 0.1d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 4.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 4.2 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2.5 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1700 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 24.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1700 kgm₂ = 1300 kgd = 24.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 18.5 kg、长为 2.3 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 18.5 kgL = 2.3 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 15° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1440 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮上。紧边张力为 1000 N，松边张力为 400 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 400 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（20 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 16B = 20C = 18D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 420 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的速度 v。

m = 3.2 kgk = 420 N/mA = 6 cmx = 5 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一颗以 300 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2 kg 木块中。木块连在一根 k = 1500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 300 m/sM = 2 kgk = 1500 N/m

A = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 2 个周期出现峰值 9.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 12 mmx₂ = 9.3 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 25 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 74.07 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7.5) = 74.07 m

答案

s = 74.07 m

2.运动学

答案: d = 84.61 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.4 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1509 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1509))/(2·4.905) = 4.153 s

深度

d = ½·9.81·4.153² = 84.61 m

答案

d = 84.61 m

3.牛顿定律

答案: F = 94.94 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 38.09 + 56.85 = 94.94 N

答案

F = 94.94 N

4.牛顿定律

答案: T = 26.67 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (40 − 8.829)/9 = 3.463 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(3.463 + 0.981) = 26.67 N

答案

T = 26.67 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 15.05 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·20/sin 120°) = 15.05 m/s

答案

v₀ = 15.05 m/s

6.抛体运动

答案: α = 74.92 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 11·cos 35° = 9.011 m/s

v_y0 = 11·sin 35° = 6.309 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(6.309² + 2·9.81·55) = 33.45 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 33.45/9.011 → α = 74.92°

答案

α = 74.92°

7.圆周运动

答案: v_max = 14.35 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·30) = 14.35 m/s

答案

v_max = 14.35 m/s (51.67 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 68.91 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·8²/0.5 = 4.905 + 64 = 68.91 N

答案

T = 68.91 N

9.功和能

答案: W_f = 44.45 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9063 = 22.23 N

F = μN = 0.1·22.23 = 2.223 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.223·20 = 44.45 J

答案

W_f = 44.45 J

10.功和能

答案: N = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.2 − 3) = 23.54 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·23.54/1.5 − 98.1 = 58.86 N

答案

N = 58.86 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 193.3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2.5)·1.534/0.02 = 193.3 m/s

答案

v = 193.3 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 32.37 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·24.5) = 18.34 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·18.34/1700 = 32.37 m/s

答案

v₁ = 32.37 m/s

(116.5 km/h)

13.刚体转动

答案: R = 45.37 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.3) = 6.398 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 18.5·(9.81 − 7.357) = 45.37 N

答案

R = 45.37 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.07656

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 15°/1.4 = 1.814 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.4·tan 15°/1.4 = 0.07656

答案

μ_s = 0.07656

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 6.786 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 11.31 m/s

功率

P = (1000 − 400)·11.31 = 6786 W = 6.786 kW

答案

P = 6.786 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 900 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·16/20 = 2400 rpm = n_C

第二级

n_out = 2400·18/48 = 900 rpm

答案

n_out = 900 rpm

总传动比 = 3.333 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.38 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(420/3.2) = 11.46 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.46·√(0.06² − 0.05²) = 0.38 m/s

答案

v = 0.38 m/s

18.弹簧与单摆

答案: A = 2.735 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·300/2.005 = 0.7481 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/2.005) = 27.35 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7481/27.35 = 0.02735 m = 2.735 cm

答案

A = 2.735 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.02028

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(12/9.3) = 0.1274

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1274/√(39.48 + 0.01624) = 0.02028

答案

ζ = 0.02028

20.机械振动

答案: k_eq = 20 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/25 + 1/100 → k_eq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m

答案

k_eq = 20 kN/m

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