动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1800 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 19 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 40 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 1.3 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 17 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.2d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0.1d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 28 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 9 kg、长为 1.4 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 9 kgL = 1.4 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个质量为 12 kg 的空心球以 5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 12 kgv = 5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 2.2 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 24 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 2.2 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 18N₂ = 24η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 720 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 1000 mmμ = 0.25T₁ = 1200 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.4 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 340 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.1 kgk = 340 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块由刚度为 15 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 40 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 12 kgk = 15 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 10 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 84.85 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2·1800) = 84.85 m/s

答案

v = 84.85 m/s

(305.5 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 53.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

h_max = 35 + 18.4 = 53.4 m

答案

h_max = 53.4 m

3.牛顿定律

答案: F = 208 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 134.2 + 73.75 = 208 N

答案

F = 208 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.859 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 10.3)/7.5 = 3.859 m/s²

答案

a = 3.859 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 0.8367 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 20° = 11.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 20° = 4.104 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·4.104/9.81 = 0.8367 s

答案

t = 0.8367 s

6.抛体运动

答案: x = 53.12 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11.31 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 11.31·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.31 + √(128 + 1079))/9.81 = 4.695 s

水平距离

x = v_x·t = 11.31·4.695 = 53.12 m

答案

x = 53.12 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.476 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·2)) = 2.476 rad/s

答案

ω = 2.476 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 52.27 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·5²/1.3 = 17.66 + 34.62 = 52.27 N

答案

T = 52.27 N

9.功和能

答案: W_f = 288.9 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.866 = 84.96 N

F = μN = 0.2·84.96 = 16.99 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 16.99·17 = 288.9 J

答案

W_f = 288.9 J

10.功和能

答案: v = 1.617 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·0.5 = 4.905 J

μ·m₁g·d = 0.1·19.62·0.5 = 0.981 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 3.924 → v = √(2·3.924/3) = 1.617 m/s

答案

v = 1.617 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 2.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 1)/(4 + 1)·4 = 2.4 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1)·4 = 6.4 m/s

答案

v′₁ = 2.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 3680 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(18 + 28) = 18.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 18.4/0.005 = 3680 N

答案

F_avg = 3680 N

13.刚体转动

答案: ω = 4.585 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 9·9.81·0.7 = 61.8 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 9·1.4²/3 = 5.88 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 61.8 → ω = √(2·61.8/5.88) = 4.585 rad/s

答案

ω = 4.585 rad/s

14.刚体转动

答案: E_k = 250 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·12·5² = 150 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·150 = 100 J

合计

E_k = 150 + 100 = 250 J

答案

E_k = 250 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 14.59 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/150.8 = 14.59 N·m

答案

T₁ = 14.59 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 2.893 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.866 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7164 = 2.047, T₂ = 1200/2.047 = 586.2 N

功率

P = (1200 − 586.2)·4.712 = 2.893 kW

答案

P = 2.893 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 1.269 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.4/9.81) = 1.269 s

答案

T = 1.269 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.257 m/s

角频率

ω = √(340/3.1) = 10.47 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.12·10.47 = 1.257 m/s

答案

v_max = 1.257 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.04714

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·12) = 848.5 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 40/848.5 = 0.04714

答案

ζ = 0.04714

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 1.458 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 40 + 12 = 52 kN/m

k_eq = 52·10/(52 + 10) = 8.387 kN/m

固有频率

ω_n = √(8387/100) = 9.158 rad/s

f_n = 9.158/(2π) = 1.458 Hz

答案

f_n = 1.458 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics