动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 90 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 24 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 25 mv_0B = 24 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 30° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 15 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 22 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 65°h_roof = 22 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 125 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的球系在长 1.4 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.7 kgr = 1.4 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 300 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 6°F_r = 300 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.3 kgv_in = 28 m/sv_out = 8 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 1.5 kg、长为 1.4 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 1.5 kgL = 1.4 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 2.5 kg 的哑铃，距转轴 0.7 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4 kg·m²。他们以 40 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.25 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 4 kg·m²m = 2 × 2.5 kgr₁ = 0.7 mr₂ = 0.25 mn₁ = 40 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 11 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 500 mmμ = 0.25T₁ = 1200 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.8 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.7 s，振幅为 13 cm。它从平衡位置运动到位移 5.2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.7 sA = 13 cmx = 5.2 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 100 kgk = 200 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 40 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 8.333 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/3 = 8.333 s

答案

t = 8.333 s

2.运动学

答案: t = 1.042 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

25 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 25/24 = 1.042 s

答案

t = 1.042 s

3.牛顿定律

答案: F = 105.4 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 73.57 + 31.86 = 105.4 N

答案

F = 105.4 N

4.牛顿定律

答案: a = 0.7007 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 29.43)/14 = 0.7007 m/s²

答案

a = 0.7007 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 2.499 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12.26 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·12.26/9.81 = 2.499 s

答案

t = 2.499 s

6.抛体运动

答案: x = 78.47 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 14.37 m/s, v_y = 30.81 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

22 = 30.81·t − 4.905·t²

t = (30.81 + √(30.81² − 2·9.81·22))/9.81 = 5.461 s

水平距离

x = v_x·t = 14.37·5.461 = 78.47 m

答案

x = 78.47 m

7.圆周运动

答案: v_max = 31.32 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·125) = 31.32 m/s

答案

v_max = 31.32 m/s (112.8 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 37.66 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·1.4 = 89.06 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·89.06/1.4 − 0.7·9.81 = 37.66 N

答案

T_top = 37.66 N

9.功和能

答案: P = 21.46 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 6° = 1846 N

F = 1846 + 300 = 2146 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 2146·10 = 21458 W = 21.46 kW

答案

P = 21.46 kW

10.功和能

答案: v = 6.495 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.3·4.5) = 10.55 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.15) = 6.495 m/s

答案

v = 6.495 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 3)/(4.5 + 3)·9 = 1.8 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3)·9 = 10.8 m/s

答案

v′₁ = 1.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 2160 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(8 + 28) = 10.8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 10.8/0.005 = 2160 N

答案

F_avg = 2160 N

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.4) = 10.51 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 10.51·1.4 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: n₂ = 59.83 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 4 + 2·2.5·0.7² = 6.45 kg·m²

I₂ = 4 + 2·2.5·0.25² = 4.313 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 40·6.45/4.313 = 59.83 rpm

答案

n₂ = 59.83 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 3039 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 11000/150.8 = 72.95 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·16 = 48 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·72.95/0.048 = 3039 N

答案

F_t = 3039 N

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 5.382 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.584 rad

松边张力

e^μθ = e^0.6461 = 1.908, T₂ = 1200/1.908 = 628.9 N

功率

P = (1200 − 628.9)·9.425 = 5.382 kW

答案

P = 5.382 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.357 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.8/9.81) = 3.357 s

答案

T = 3.357 s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.1113 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.7 = 3.696 rad/s

求解时间

0.4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.4) = 0.4115 rad

t = 0.4115/3.696 = 0.1113 s

答案

t = 0.1113 s

19.机械振动

答案: f_d = 6.79 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(200000/100) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.3²) = 6.79 Hz

答案

f_d = 6.79 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 24 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/60 + 1/40 → k_eq = 60·40/(60 + 40) = 24 kN/m

答案

k_eq = 24 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics