动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 35 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 28 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 35 mv_0B = 28 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 21 m/sθ = 35°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.1 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.1 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.2 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 40°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 1.5 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 3.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 21 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 10 kg、长为 2.3 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 10 kgL = 2.3 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 2 m 后的速度 v。

θ = 35°s = 2 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 150 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 450 mm 的带轮，打滑率为 3 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（12 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 12B = 80C = 30D = 80

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.2 m 的单摆在小幅摆动时周期为 5.41 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.2 mT = 5.41 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.8 s，振幅为 7 cm。它从平衡位置运动到位移 2.1 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.8 sA = 7 cmx = 2.1 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 50 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 50 kgk = 200 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 17.31 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·6.5) = 17.31 m

答案

s = 17.31 m

2.运动学

答案: y = 27.34 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

35 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 35/28 = 1.25 s

相遇高度

y = 28·1.25 − ½·9.81·1.25² = 27.34 m

答案

y = 27.34 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.479 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答案

a = 1.479 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 14.71 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 0)/6 = 4.905 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·4.905 + 0 = 14.71 N

答案

T = 14.71 N

5.抛体运动

答案: x = 42.73 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 30° = 19.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 30° = 11 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11/9.81 = 2.243 s

水平距离

x = v_x·t = 19.05·2.243 = 42.73 m

答案

x = 42.73 m

6.抛体运动

答案: H = 47.39 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 21·sin 35° = 12.05 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 12.05²/(2·9.81) = 7.395 m

离地面的高度

H = 40 + 7.395 = 47.39 m

答案

H = 47.39 m

7.圆周运动

答案: T = 1.488 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.1·sin 60° = 0.9526 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.9526·9.81·tan 60°) = 4.023 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.9526/4.023 = 1.488 s

答案

T = 1.488 s

8.圆周运动

答案: v_min = 3.431 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.2) = 3.431 m/s

答案

v_min = 3.431 m/s

9.功和能

答案: T = 14.4 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 40°) = 6.885 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·6.885/1.5 = 14.4 N

答案

T = 14.4 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 14.4 N。

10.功和能

答案: v = 7.543 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3.5 − 0.15·4) = 142.2 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.9) = 7.543 m/s

答案

v = 7.543 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 4.5)/(0.5 + 4.5)·4 = −3.2 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4.5)·4 = 0.8 m/s

答案

v′₁ = −3.2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 15.5 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(10 + 21) = 15.5 N·s

答案

J = 15.5 N·s

13.刚体转动

答案: α = 6.398 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.3) = 6.398 rad/s²

答案

α = 6.398 rad/s²

14.刚体转动

答案: v = 4.01 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 2·sin 35° = 1.147 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·1.147/1.4) = 4.01 m/s

答案

v = 4.01 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 468.8 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·150/450 = 483.3 rpm

有打滑

n₂ = 483.3·0.97 = 468.8 rpm

答案

n₂ = 468.8 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 81.56 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1450·12/80 = 217.5 rpm = n_C

第二级

n_out = 217.5·30/80 = 81.56 rpm

答案

n_out = 81.56 rpm

总传动比 = 17.78 : 1

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.619 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.2/5.41² = 1.619 m/s²

答案

g = 1.619 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.1358 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.8 = 2.244 rad/s

求解时间

0.3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.3) = 0.3047 rad

t = 0.3047/2.244 = 0.1358 s

答案

t = 0.1358 s

19.机械振动

答案: f_d = 9.225 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(200000/50) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.4²) = 9.225 Hz

答案

f_d = 9.225 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 6.711 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 80 + 80 = 160 kN/m

k_eq = 160·20/(160 + 20) = 17.78 kN/m

固有频率

ω_n = √(17778/10) = 42.16 rad/s

f_n = 42.16/(2π) = 6.711 Hz

答案

f_n = 6.711 Hz

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