动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 300 km/h 的速度，可用跑道长 800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 300 km/hs = 800 m

a = m/s²

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 11 s，然后匀速行驶 20 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 20 sa₃ = −4.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 27 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 4 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 65°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 125 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 80 m 的弯道倾斜 15°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 80 mθ = 15°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 6°F_r = 200 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 145 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.1。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 145 Nθ = 25°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 6 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1400 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 2000 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1500 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 16 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1500 kgm₂ = 1100 kgd = 16 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 16 kg、长为 2.2 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 16 kgL = 2.2 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

质量为 2 kg、长为 1.5 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 280 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.25 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 2 kgL = 1.5 mm = 10 gv = 280 m/sd = 1.25 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 960 rpm 转动、直径 160 mm 的主动轮上。紧边张力为 400 N，松边张力为 100 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 400 NT₂ = 100 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（48 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 18B = 72C = 48D = 50

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 1.7 kg 的物体连在 k = 50 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.7 kgk = 50 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 10 kgk = 15 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: a = 4.34 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·800) = 4.34 m/s²

答案

a = 4.34 m/s²

2.运动学

答案: s = 785.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·11 = 27.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·11² = 151.3 m

s₂ = 27.5·20 = 550 m

s₃ = 27.5²/(2·4.5) = 84.03 m

总距离

s = 151.3 + 550 + 84.03 = 785.3 m

答案

s = 785.3 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 6.54 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/3 = 6.54 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·6.54 + 0 = 6.54 N

答案

T = 6.54 N

5.抛体运动

答案: t = 4.685 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 50° = 19.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 50° = 22.98 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.98/9.81 = 4.685 s

答案

t = 4.685 s

6.抛体运动

答案: x = 55 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 11.41 m/s, v_y = 24.47 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

4 = 24.47·t − 4.905·t²

t = (24.47 + √(24.47² − 2·9.81·4))/9.81 = 4.82 s

水平距离

x = v_x·t = 11.41·4.82 = 55 m

答案

x = 55 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.15 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·125) = 22.15 m/s

答案

v_max = 22.15 m/s (79.73 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 22.02 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(80·9.81·0.5486/0.8883) = 22.02 m/s

答案

v_max = 22.02 m/s

(79.26 km/h)

9.功和能

答案: P = 18.38 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 6° = 1025 N

F = 1025 + 200 = 1225 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1225·15 = 18381 W = 18.38 kW

答案

P = 18.38 kW

10.功和能

答案: v = 4.706 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 82.92 N

μ·mg·cos θ = 17.78 N

功–能关系

½mv² = (145 − 100.7)·5 = 221.5 J

v = √(2·221.5/20) = 4.706 m/s

答案

v = 4.706 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 14824 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·6/3400 = 3.529 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·6² = 36000 J

K_after = ½·3400·3.529² = 21176 J

损失的能量

ΔK = 36000 − 21176 = 14824 J

答案

ΔK = 14824 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 26.6 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·16) = 15.34 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·15.34/1500 = 26.6 m/s

答案

v₁ = 26.6 m/s

(95.75 km/h)

13.刚体转动

答案: R = 39.24 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.2) = 6.689 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 16·(9.81 − 7.357) = 39.24 N

答案

R = 39.24 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: φ = 43.31 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 2·1.5²/3 + 0.01·1.25² = 1.516 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·280·1.25/1.516 = 2.309 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·1.516·2.309² = 4.041 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 14.84·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 4.041/14.84 = 0.7276 → φ = 43.31°

答案

φ = 43.31°

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 2.413 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 8.042 m/s

功率

P = (400 − 100)·8.042 = 2413 W = 2.413 kW

答案

P = 2.413 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 696 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 2900·18/72 = 725 rpm = n_C

第二级

n_out = 725·48/50 = 696 rpm

答案

n_out = 696 rpm

总传动比 = 4.167 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.096 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答案

L = 1.096 m

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.2169 m/s

角频率

ω = √(50/1.7) = 5.423 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.04·5.423 = 0.2169 m/s

答案

v_max = 0.2169 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 5.338 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(15000/10) = 38.73 rad/s

f_n = 38.73/(2π) = 6.164 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.164·√(1 − 0.5²) = 5.338 Hz

答案

f_d = 5.338 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 4 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/5 + 1/20 → k_eq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m

答案

k_eq = 4 kN/m

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