动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 1200 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 20° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 7 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 8.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 27 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 350 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 350 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 5000 N/mx = 20 cmθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 2000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 12.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 2000 kgm₂ = 1000 kgd = 12.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 56 s 把转动惯量为 5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 800 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 5 kg·m²n = 800 rpmt = 56 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 40° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.35 m。求它沿斜面滚过 9 m 后的角速度 ω。

θ = 40°s = 9 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.35 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 50 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 1.1 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 50N₂ = 80η = 95%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 250 mm 的带轮，二者中心相距 800 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 160 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.21 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.1 mT = 2.21 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 2.5 kg 的物体连在 k = 250 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.5 kgk = 250 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块由刚度为 12 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 170 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 10 kgk = 12 kN/mc = 170 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.556 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·1200) = 1.556 m/s²

答案

a = 1.556 m/s²

2.运动学

答案: t = 3.684 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.684 s

答案

t = 3.684 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.355 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0) = 3.355 m/s²

答案

a = 3.355 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.397 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 34.33 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.89 N

系统的加速度

a = (83.39 − 34.33 − 11.89)/15.5 = 2.397 m/s²

答案

a = 2.397 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 5.344 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 55° = 18.35 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 55° = 26.21 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·26.21/9.81 = 5.344 s

答案

t = 5.344 s

6.抛体运动

答案: H = 36.64 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 27·sin 25° = 11.41 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 11.41²/(2·9.81) = 6.636 m

离地面的高度

H = 30 + 6.636 = 36.64 m

答案

H = 36.64 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.18 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·75) = 19.18 m/s

答案

v_max = 19.18 m/s (69.05 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.571 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答案

v_min = 3.571 m/s

9.功和能

答案: P = 8.634 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 350 = 863.4 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 863.4·10 = 8634 W = 8.634 kW

答案

P = 8.634 kW

10.功和能

答案: d = 6.109 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·5000·0.2² = 100 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 100/(19.62·(0.6428 + 0.25·0.766)) = 6.109 m

答案

d = 6.109 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 9 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 1)/(3 + 1)·6 = 3 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1)·6 = 9 m/s

答案

v′₂ = 9 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 16.61 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·12.5) = 11.07 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·11.07/2000 = 16.61 m/s

答案

v₁ = 16.61 m/s

(59.8 km/h)

13.刚体转动

答案: P_avg = 0.3133 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·800/60 = 83.78 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·5·83.78² = 17546 J

平均功率

P_avg = E/t = 17546/56 = 313.3 W = 0.3133 kW

答案

P_avg = 0.3133 kW

14.刚体转动

答案: ω = 25.73 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 9·sin 40° = 5.785 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·5.785/1.4) = 9.004 m/s

ω = v/r = 9.004/0.35 = 25.73 rad/s

答案

ω = 25.73 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 3.622 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/303.7 = 3.622 N·m

答案

T₁ = 3.622 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 173.6 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.05625) = 3.225°

包角

θ = 180 − 2·3.225 = 173.6°

答案

θ = 173.6°

17.弹簧与单摆

答案: g = 8.891 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/2.21² = 8.891 m/s²

答案

g = 8.891 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.3 m/s

角频率

ω = √(250/2.5) = 10 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.03·10 = 0.3 m/s

答案

v_max = 0.3 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.2454

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·10) = 692.8 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 170/692.8 = 0.2454

答案

ζ = 0.2454

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 105 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 100 = 105 kN/m

答案

k_eq = 105 kN/m

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