动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 34 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 34 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 12 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 18 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 12 m/sd = 18 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s 抛出，必须落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 32 m/sR = 40 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 20 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆 1300 kg 的汽车以 17 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1300 kgv = 17 m/sr = 95 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 2 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 2000 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 22 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 22 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 33 kg·m² 的飞轮以 500 rpm 转动。制动器施加 45 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 33 kg·m²n = 500 rpmT_b = 45 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 6.5 m 需要多长时间 t？

θ = 25°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 6.5 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 7.5 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 72 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 7.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 72N₂ = 80η = 98%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 102.4 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1440 rpmA = 16B = 45C = 16n_out = 102.4 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.8 s，振幅为 6 cm。它从平衡位置运动到位移 4.2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.8 sA = 6 cmx = 4.2 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 2 个周期出现峰值 10.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 20 mmx₂ = 10.7 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 30 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 12.36 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/5.5 = 12.36 s

答案

t = 12.36 s

此时警车的速度为 2v = 68 m/s。

2.运动学

答案: t = 5.229 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·40))/9.81 = 5.229 s

答案

t = 5.229 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4077

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·18) = 4 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4/9.81 = 0.4077

答案

μ = 0.4077

4.牛顿定律

答案: a = 5.292 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 8.584)/9.5 = 5.292 m/s²

答案

a = 5.292 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 11.27 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·40/32² = 0.3832

相角

2θ = 22.53° → θ = 11.27°

答案

θ = 11.27°

另一个解为 90° − θ = 78.73°。

6.抛体运动

答案: α = 64.68 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 20·cos 40° = 15.32 m/s

v_y0 = 20·sin 40° = 12.86 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.86² + 2·9.81·45) = 32.38 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 32.38/15.32 → α = 64.68°

答案

α = 64.68°

7.圆周运动

答案: N = 8798 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1300·9.81 − 1300·17²/95 = 12753 − 3955 = 8798 N

答案

N = 8798 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 2.215 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

答案

v_min = 2.215 m/s

9.功和能

答案: h = 0.8155 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·2000·0.02² = 0.4 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.4/0.4905 = 0.8155 m

答案

h = 0.8155 m

10.功和能

答案: x = 18.16 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2.5 − 0.2·2) = 41.2 J

最大压缩量

½kx² = 41.2 → x = √(2·41.2/2500) = 0.1816 m = 18.16 cm

答案

x = 18.16 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.444 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·5 = −0.5556 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·5 = 4.444 m/s

答案

v′₂ = 4.444 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 14.35 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(19 + 22) = 14.35 N·s

答案

J = 14.35 N·s

13.刚体转动

答案: N = 160 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·33·52.36² = 45236 J

θ = 45236/45 = 1005 rad

圈数

N = θ/2π = 160 rev

答案

N = 160 rev

14.刚体转动

答案: t = 2.095 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 25°/1.4 = 2.961 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·6.5/2.961) = 2.095 s

答案

t = 2.095 s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 74.6 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m

答案

T₁ = 74.6 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 80

中间轴转速

n_B = n_C = 1440·16/45 = 512 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 16·512/102.4 = 80

答案

N_D = 80

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.811 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.7/2π)² = 1.811 m

答案

L = 1.811 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.2221 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.8 = 3.491 rad/s

求解时间

0.7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.7) = 0.7754 rad

t = 0.7754/3.491 = 0.2221 s

答案

t = 0.2221 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.04971

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(20/10.7) = 0.3127

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3127/√(39.48 + 0.09781) = 0.04971

答案

ζ = 0.04971

20.机械振动

答案: k_eq = 7.5 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/30 + 1/10 → k_eq = 30·10/(30 + 10) = 7.5 kN/m

答案

k_eq = 7.5 kN/m

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