动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 6 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 2 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 26 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 12 m/sθ = 55°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 90 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 90 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 6.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.9 kgr = 0.8 mv_bottom = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 2000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 17 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 17 m/s 向东行驶的 900 kg 汽车与一辆以 14 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 900 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 14 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 54 s 把转动惯量为 25 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1200 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 25 kg·m²n = 1200 rpmt = 54 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个质量为 18 kg 的空心球以 9 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 18 kgv = 9 m/sI = (2/3)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一个 150 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 450 mm 的带轮，打滑率为 3 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 720 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 1200 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 1500 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0.3T₁ = 1500 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 150 N/m 弹簧上的 1.4 kg 物体被沿正方向拉开 15 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.2 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.4 kgk = 150 N/mA = 15 cmt = 1.2 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.9 kg 的物体连在 k = 470 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.9 kgk = 470 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 80 kg 的质量块挂在刚度为 10 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 80 kgk = 10 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 60 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 69.44 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4.5) = 69.44 m

答案

s = 69.44 m

2.运动学

答案: t = 3.352 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.352 s

答案

t = 3.352 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.368 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答案

a = 2.368 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 13.73 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 1.962)/5.5 = 5.886 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·5.886 + 1.962 = 13.73 N

答案

T = 13.73 N

5.抛体运动

答案: H = 23.12 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 55° = 14.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 55° = 21.3 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 21.3²/(2·9.81) = 23.12 m

答案

H = 23.12 m

6.抛体运动

答案: x = 22.41 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 55° = 6.883 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 55° = 9.83 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 9.83·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.83 + √(96.63 + 392.4))/9.81 = 3.256 s

水平距离

x = v_x·t = 6.883·3.256 = 22.41 m

答案

x = 22.41 m

7.圆周运动

答案: v_max = 24.86 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·90) = 24.86 m/s

答案

v_max = 24.86 m/s (89.5 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 3.386 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 6.5² − 4·9.81·0.8 = 10.86 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.9·10.86/0.8 − 0.9·9.81 = 3.386 N

答案

T_top = 3.386 N

9.功和能

答案: h = 0.6524 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·2000·0.04² = 1.6 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 1.6/2.453 = 0.6524 m

答案

h = 0.6524 m

10.功和能

答案: v = 9.078 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.15·2) = 164.8 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.2) = 9.078 m/s

答案

v = 9.078 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 103641 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·17/2900 = 9.379 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·17² = 231200 J

K_after = ½·2900·9.379² = 127559 J

损失的能量

ΔK = 231200 − 127559 = 103641 J

答案

ΔK = 103641 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 10.81 m/s

动量分量

p_x = 900·17 = 15300 kg·m/s

p_y = 1300·14 = 18200 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 23777/2200 = 10.81 m/s

答案

v′ = 10.81 m/s

13.刚体转动

答案: P_avg = 3.655 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·25·125.7² = 197392 J

平均功率

P_avg = E/t = 197392/54 = 3655 W = 3.655 kW

答案

P_avg = 3.655 kW

14.刚体转动

答案: E_rot = 486 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·18·9² = 729 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·729 = 486 J

答案

E_rot = 486 J

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 468.8 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·150/450 = 483.3 rpm

有打滑

n₂ = 483.3·0.97 = 468.8 rpm

答案

n₂ = 468.8 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.949 kW

包角

θ = 2.908 rad

松边张力

e^μθ = e^0.8723 = 2.392, T₂ = 1500/2.392 = 627 N

功率

P = (1500 − 627)·4.524 = 3.949 kW

答案

P = 3.949 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.2246 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(150/1.4) = 10.35 rad/s

ω·t = 10.35·1.2 = 12.42 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.15·10.35·sin(12.42) = 0.2246 m/s

答案

v = 0.2246 m/s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 20.89 m/s²

角频率

ω = √(470/0.9) = 22.85 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.04·22.85² = 20.89 m/s²

答案

a_max = 20.89 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 1.667 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(10000/80) = 11.18 rad/s

f_n = 11.18/(2π) = 1.779 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.779·√(1 − 0.35²) = 1.667 Hz

答案

f_d = 1.667 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 34.29 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/80 + 1/60 → k_eq = 80·60/(80 + 60) = 34.29 kN/m

答案

k_eq = 34.29 kN/m

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