动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 0.7 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 10 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 29 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 60 km/h 通过半径为 380 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 380 mv = 60 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 0.5 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 15 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.2d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 1000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 18 m/sv_out = 20 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 14 kg·m² 的飞轮以 1800 rpm 转动。制动器施加 135 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 14 kg·m²n = 1800 rpmT_b = 135 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个实心圆柱从静止开始，沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 3.5 m 后的速度 v。

θ = 30°s = 3.5 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 11 kWn = 2900 rpmN₁ = 20m = 2.5 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 960 rpmA = 18B = 40C = 18D = 60

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一颗以 300 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 4 kg 木块中。木块连在一根 k = 700 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 300 m/sM = 4 kgk = 700 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 200 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 200 kgk = 50 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 33.03 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.7 = 11.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·6.5) = 21.37 m

合计

d = 11.67 + 21.37 = 33.03 m

答案

d = 33.03 m

2.运动学

答案: t = 3.519 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.519 s

答案

t = 3.519 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 73.58 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 49.05 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (98.1 − 49.05 − 0)/20 = 2.453 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9.81 − 2.453) = 73.58 N

答案

T = 73.58 N

5.抛体运动

答案: x = 79.45 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25.98 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.98/9.81 = 5.297 s

水平距离

x = v_x·t = 15·5.297 = 79.45 m

答案

x = 79.45 m

6.抛体运动

答案: v = 36.49 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 29·cos 50° = 18.64 m/s

v_y0 = 29·sin 50° = 22.22 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(22.22² + 2·9.81·25) = 31.37 m/s

落水速度

v = √(18.64² + 31.37²) = 36.49 m/s

答案

v = 36.49 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: θ = 4.262 °

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

单位

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 16.67²/(380·9.81) = 0.07452

θ = 4.262°

答案

θ = 4.262°

8.圆周运动

答案: T = 41.17 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·3.5²/0.5 = 11.77 + 29.4 = 41.17 N

答案

T = 41.17 N

9.功和能

答案: v = 12.9 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.7071 − 0.2·0.7071)) = 12.9 m/s

答案

v = 12.9 m/s

10.功和能

答案: d = 0.3659 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5/(19.62·(0.5736 + 0.15·0.8192)) = 0.3659 m

答案

d = 0.3659 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.222 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·2 = 0.2222 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·2 = 2.222 m/s

答案

v′₂ = 2.222 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 5.7 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(20 + 18) = 5.7 N·s

答案

J = 5.7 N·s

13.刚体转动

答案: t = 19.55 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 135/14 = 9.643 rad/s²

t = ω/α = 188.5/9.643 = 19.55 s

答案

t = 19.55 s

14.刚体转动

答案: v = 4.784 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 3.5·sin 30° = 1.75 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·1.75/1.5) = 4.784 m/s

答案

v = 4.784 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 1449 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 11000/303.7 = 36.22 N·m

分度圆直径

d = m·N = 2.5·20 = 50 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·36.22/0.05 = 1449 N

答案

F_t = 1449 N

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 129.6 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 960·18/40 = 432 rpm = n_C

第二级

n_out = 432·18/60 = 129.6 rpm

答案

n_out = 129.6 rpm

总传动比 = 7.407 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.811 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.7/2π)² = 1.811 m

答案

L = 1.811 m

18.弹簧与单摆

答案: A = 2.833 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·300/4.005 = 0.3745 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(700/4.005) = 13.22 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.3745/13.22 = 0.02833 m = 2.833 cm

答案

A = 2.833 cm

19.机械振动

答案: f_d = 2.401 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(50000/200) = 15.81 rad/s

f_n = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.3²) = 2.401 Hz

答案

f_d = 2.401 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 5.455 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/12 + 1/10 → k_eq = 12·10/(12 + 10) = 5.455 kN/m

答案

k_eq = 5.455 kN/m

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