动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 12 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 95 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgF = 95 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 75° 的角度抛出，落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 75°R = 35 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 0.6 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 16 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.3d = 16 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 20 m/sv_out = 15 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一台电动机在 700 rpm 时输出 1340 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 1340 N·mn = 700 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

质量为 3 kg、长为 1.9 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 140 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.46 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 3 kgL = 1.9 mm = 10 gv = 140 m/sd = 1.46 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 960 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 1200 N，松边张力为 480 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 480 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 80 mm 的带轮和一个 250 mm 的带轮，二者中心相距 800 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 80 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 490 N/m 弹簧上的 2.9 kg 物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 11 cm 时的速度 v。

m = 2.9 kgk = 490 N/mA = 12 cmx = 11 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.8 s，振幅为 13 cm。它从平衡位置运动到位移 3.25 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.8 sA = 13 cmx = 3.25 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块挂在刚度为 10 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 15 kgk = 10 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 50 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 79.37 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7) = 79.37 m

答案

s = 79.37 m

2.运动学

答案: h_max = 42.34 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

离地面的高度

h_max = 35 + 7.339 = 42.34 m

答案

h_max = 42.34 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.812 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答案

a = 2.812 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 63.33 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 7.357)/3 = 29.21 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(29.21 + 2.453) = 63.33 N

答案

T = 63.33 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 26.2 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·35/sin 150°) = 26.2 m/s

答案

v₀ = 26.2 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.759 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 15° = 24.15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 15° = 6.47 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 6.47·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.47 + √(41.87 + 882.9))/9.81 = 3.759 s

答案

t = 3.759 s

7.圆周运动

答案: v_max = 18.53 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·70) = 18.53 m/s

答案

v_max = 18.53 m/s (66.71 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 36.03 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·5²/0.6 = 6.867 + 29.17 = 36.03 N

答案

T = 36.03 N

9.功和能

答案: v = 6.879 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·16·(0.4226 − 0.3·0.9063)) = 6.879 m/s

答案

v = 6.879 m/s

10.功和能

答案: v = 8.747 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.15·4) = 76.52 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.9) = 8.747 m/s

答案

v = 8.747 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·8 = 4 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·8 = 12 m/s

答案

v′₁ = 4 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 19.25 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(15 + 20) = 19.25 N·s

答案

J = 19.25 N·s

13.刚体转动

答案: P = 98.23 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·700/60 = 73.3 rad/s

功率

P = T·ω = 1340·73.3 = 98227 W = 98.23 kW

答案

P = 98.23 kW

14.刚体转动

答案: ω = 0.5629 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 3·1.9²/3 + 0.01·1.46² = 3.631 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·140·1.46/3.631 = 0.5629 rad/s

答案

ω = 0.5629 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 2.895 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 4.021 m/s

功率

P = (1200 − 480)·4.021 = 2895 W = 2.895 kW

答案

P = 2.895 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 167.8 °

皮带角

asin(0.1062) = 6.099°

包角

θ = 180 − 2·6.099 = 167.8°

答案

θ = 167.8°

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.6234 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(490/2.9) = 13 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 13·√(0.12² − 0.11²) = 0.6234 m/s

答案

v = 0.6234 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.07239 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.8 = 3.491 rad/s

求解时间

0.25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.25) = 0.2527 rad

t = 0.2527/3.491 = 0.07239 s

答案

t = 0.07239 s

19.机械振动

答案: f_d = 2.935 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(10000/15) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.7²) = 2.935 Hz

答案

f_d = 2.935 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 33.33 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/50 → k_eq = 100·50/(100 + 50) = 33.33 kN/m

答案

k_eq = 33.33 kN/m

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