动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 33 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 33 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 20 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 150 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 150 Nθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 85 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 85 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 200 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 200 mθ = 30°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 700 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 4°F_r = 700 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 8 m/sv_out = 13 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 6.5 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 1.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 6.5 kgL = 1.3 mm_ball = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

质量为 3.5 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 15 g 的子弹以 260 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.4 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 3.5 kgL = 0.5 mm = 15 gv = 260 m/sd = 0.4 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 20 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 36 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 1.1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 36η = 96%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 250 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 2000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.8 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.83 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.8 mT = 2.83 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一颗以 150 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1400 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 150 m/sM = 2.5 kgk = 1400 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 8 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 8 kgk = 8 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 622.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/3.5 = 18.86 s

距离

d = v·t = 33·18.86 = 622.3 m

答案

d = 622.3 m

此时警车的速度为 2v = 66 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 60.39 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

离地面的高度

h_max = 40 + 20.39 = 60.39 m

答案

h_max = 60.39 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.27 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 150·sin 15° = 304.5 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 144.9 − 30.45

a = 114.4/35 = 3.27 m/s²

答案

a = 3.27 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 4.992 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·4.908) = 4.992 m

答案

d = 4.992 m

5.抛体运动

答案: t = 3.884 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 60° = 11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 60° = 19.05 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·19.05/9.81 = 3.884 s

答案

t = 3.884 s

6.抛体运动

答案: H = 46.09 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 17·sin 40° = 10.93 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 10.93²/(2·9.81) = 6.086 m

离地面的高度

H = 40 + 6.086 = 46.09 m

答案

H = 46.09 m

7.圆周运动

答案: v_max = 25.83 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·85) = 25.83 m/s

答案

v_max = 25.83 m/s (92.98 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 45.63 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(200·9.81·0.7598/0.716) = 45.63 m/s

答案

v_max = 45.63 m/s

(164.3 km/h)

9.功和能

答案: P = 51.72 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 4° = 1369 N

F = 1369 + 700 = 2069 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 2069·25 = 51716 W = 51.72 kW

答案

P = 51.72 kW

10.功和能

答案: d = 3.227 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(29.43·(0.2588 + 0.1·0.9659)) = 3.227 m

答案

d = 3.227 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.182 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·7 = −3.182 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·7 = 3.818 m/s

答案

v′₁ = −3.182 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 315 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(13 + 8) = 12.6 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 12.6/0.04 = 315 N

答案

F_avg = 315 N

13.刚体转动

答案: v = 5.748 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6.5·9.81·0.65 + 1.5·9.81·1.3 = 60.58 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 3.662 + 2.535 = 6.197 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 60.58 → ω = √(2·60.58/6.197) = 4.422 rad/s

v = ω·L = 4.422·1.3 = 5.748 m/s

答案

v = 5.748 m/s

14.刚体转动

答案: φ = 58.59 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 3.5·0.5²/3 + 0.015·0.4² = 0.2941 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.015·260·0.4/0.2941 = 5.305 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·0.2941·5.305² = 4.138 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 8.643·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 4.138/8.643 = 0.5212 → φ = 58.59°

答案

φ = 58.59°

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 7.003 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157.1 = 7.003 N·m

答案

T₁ = 7.003 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 13.89 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.857 rad

松边张力

e^μθ = e^0.8572 = 2.357, T₂ = 2000/2.357 = 848.7 N

功率

P = (2000 − 848.7)·12.06 = 13.89 kW

答案

P = 13.89 kW

17.弹簧与单摆

答案: g = 8.873 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.8/2.83² = 8.873 m/s²

答案

g = 8.873 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: A = 3.035 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·150/2.512 = 0.7166 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/2.512) = 23.61 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7166/23.61 = 0.03035 m = 3.035 cm

答案

A = 3.035 cm

19.机械振动

答案: f_d = 4.715 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(8000/8) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.35²) = 4.715 Hz

答案

f_d = 4.715 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 4.835 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 30 + 30 = 60 kN/m

k_eq = 60·5/(60 + 5) = 4.615 kN/m

固有频率

ω_n = √(4615/5) = 30.38 rad/s

f_n = 30.38/(2π) = 4.835 Hz

答案

f_n = 4.835 Hz

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