动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 72 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 4 kg 和 3 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 35 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的球系在长 1.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 2 kgr = 1.5 mv_bottom = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 800 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 800 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.4 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 4 kgL = 1.4 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 5 kg、长为 2.5 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 5 kgL = 2.5 mm_ball = 5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一个 120 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 200 mm 的带轮，打滑率为 3 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 200 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 500 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0.25T₁ = 1200 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 200 N/m 弹簧上的 2.2 kg 物体在无摩擦表面上以 7 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 2.2 kgk = 200 N/mA = 7 cmx = 1 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 3 kg 的物体连在 k = 20 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3 kgk = 20 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 2 个周期出现峰值 5.5 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₂ = 5.5 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.636 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/5.5 = 3.636 s

答案

t = 3.636 s

2.运动学

答案: t = 5.236 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·35))/9.81 = 5.236 s

答案

t = 5.236 s

3.牛顿定律

答案: T = 33.63 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (4 − 3)·9.81/(4 + 3) = 1.401 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9.81 + 1.401) = 33.63 N

答案

T = 33.63 N

4.牛顿定律

答案: T = 18.59 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 14.71)/9.5 = 0.5163 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7.5·0.5163 + 14.71 = 18.59 N

答案

T = 18.59 N

5.抛体运动

答案: H = 14.58 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 70° = 6.156 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 70° = 16.91 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 16.91²/(2·9.81) = 14.58 m

答案

H = 14.58 m

6.抛体运动

答案: H = 51.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 35·sin 55° = 28.67 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 28.67²/(2·9.81) = 41.9 m

离地面的高度

H = 10 + 41.9 = 51.9 m

答案

H = 51.9 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·50) = 19.81 m/s

答案

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 9.9 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9² − 4·9.81·1.5 = 22.14 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·22.14/1.5 − 2·9.81 = 9.9 N

答案

T_top = 9.9 N

9.功和能

答案: h = 0.6524 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·800·0.04² = 0.64 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.64/0.981 = 0.6524 m

答案

h = 0.6524 m

10.功和能

答案: x = 34.31 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(1 − 0.2·2) = 29.43 J

最大压缩量

½kx² = 29.43 → x = √(2·29.43/500) = 0.3431 m = 34.31 cm

答案

x = 34.31 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.143 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·2 = −0.8571 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·2 = 1.143 m/s

答案

v′₂ = 1.143 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 194.5 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.4·(1 − cos 15°) = 0.0477 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.0477) = 0.9674 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.02·0.9674/0.02 = 194.5 m/s

答案

v = 194.5 m/s

13.刚体转动

答案: v = 7.428 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 5·9.81·1.25 + 5·9.81·2.5 = 183.9 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 10.42 + 31.25 = 41.67 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 183.9 → ω = √(2·183.9/41.67) = 2.971 rad/s

v = ω·L = 2.971·2.5 = 7.428 m/s

答案

v = 7.428 m/s

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.05038

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.4 = 1.217 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.4·tan 10°/1.4 = 0.05038

答案

μ_s = 0.05038

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 1676 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·120/200 = 1728 rpm

有打滑

n₂ = 1728·0.97 = 1676 rpm

答案

n₂ = 1676 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 7.14 kW

包角

θ = 2.718 rad

松边张力

e^μθ = e^0.6796 = 1.973, T₂ = 1200/1.973 = 608.2 N

功率

P = (1200 − 608.2)·12.06 = 7.14 kW

答案

P = 7.14 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.6606 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(200/2.2) = 9.535 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 9.535·√(0.07² − 0.01²) = 0.6606 m/s

答案

v = 0.6606 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.1807 m/s

角频率

ω = √(20/3) = 2.582 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.07·2.582 = 0.1807 m/s

答案

v_max = 0.1807 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.07959

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(15/5.5) = 0.5017

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5017/√(39.48 + 0.2517) = 0.07959

答案

ζ = 0.07959

20.机械振动

答案: k_eq = 17 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 12 = 17 kN/m

答案

k_eq = 17 kN/m

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