动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 26 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 26 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 21 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 21 m/sθ = 60°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.8 kgr = 0.6 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 5° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 600 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 5°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 13 m/s 行驶的 700 kg 汽车撞上一辆静止的 1900 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 700 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 21 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 4.5 kg、长为 2.2 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 4.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 4.5 kgL = 2.2 mm_ball = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 25 kg，半径 0.3 m）绕无摩擦的竖直轴以 250 rpm 自由旋转。一个质量为 12 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 25 kgM_ring = 12 kgR = 0.3 mn₁ = 250 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 24 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 4 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 24η = 95%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（48 齿）以 2880 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 921.6 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 2880 rpmA = 48B = 80C = 24n_out = 921.6 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.25 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.7 mT = 4.25 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 0.5 kg 的物体连在 k = 100 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.5 kgk = 100 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 20 kgk = 80 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 300.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/4.5 = 11.56 s

距离

d = v·t = 26·11.56 = 300.4 m

答案

d = 300.4 m

此时警车的速度为 2v = 52 m/s。

2.运动学

答案: t = 2.937 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.937 s

答案

t = 2.937 s

3.牛顿定律

答案: F = 94.76 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 67.1 + 27.66 = 94.76 N

答案

F = 94.76 N

4.牛顿定律

答案: T = 13.58 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/6.5 = 3.018 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·3.018 + 0 = 13.58 N

答案

T = 13.58 N

5.抛体运动

答案: x = 16.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5.472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15.04 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15.04/9.81 = 3.065 s

水平距离

x = v_x·t = 5.472·3.065 = 16.77 m

答案

x = 16.77 m

6.抛体运动

答案: x = 29.92 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 10.5 m/s, v_y = 18.19 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 18.19·t − 4.905·t²

t = (18.19 + √(18.19² − 2·9.81·12))/9.81 = 2.849 s

水平距离

x = v_x·t = 10.5·2.849 = 29.92 m

答案

x = 29.92 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·75) = 22.69 m/s

答案

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 34.85 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·4.5²/0.6 = 7.848 + 27 = 34.85 N

答案

T = 34.85 N

9.功和能

答案: P = 34.65 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 5° = 1710 N

F = 1710 + 600 = 2310 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 2310·15 = 34650 W = 34.65 kW

答案

P = 34.65 kW

10.功和能

答案: v = 3.926 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·2.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.2·39.24·2.5 = 19.62 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 53.95 → v = √(2·53.95/7) = 3.926 m/s

答案

v = 3.926 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 43225 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·13/2600 = 3.5 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·700·13² = 59150 J

K_after = ½·2600·3.5² = 15925 J

损失的能量

ΔK = 59150 − 15925 = 43225 J

答案

ΔK = 43225 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 19.8 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(15 + 21) = 19.8 N·s

答案

J = 19.8 N·s

13.刚体转动

答案: v = 6.968 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 4.5·9.81·1.1 + 4.5·9.81·2.2 = 145.7 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 7.26 + 21.78 = 29.04 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 145.7 → ω = √(2·145.7/29.04) = 3.167 rad/s

v = ω·L = 3.167·2.2 = 6.968 m/s

答案

v = 6.968 m/s

14.刚体转动

答案: n₂ = 127.6 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·25·0.3² = 1.125 kg·m²

I₂ = 12·0.3² = 1.08 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 250·1.125/2.205 = 127.6 rpm

答案

n₂ = 127.6 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 40.32 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/150.8 = 26.53 N·m

输出扭矩

T₂ = 26.53·24/15·0.95 = 40.32 N·m

答案

T₂ = 40.32 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 45

中间轴转速

n_B = n_C = 2880·48/80 = 1728 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 24·1728/921.6 = 45

答案

N_D = 45

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.716 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.7/4.25² = 3.716 m/s²

答案

g = 3.716 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.414 m/s

角频率

ω = √(100/0.5) = 14.14 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.1·14.14 = 1.414 m/s

答案

v_max = 1.414 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 9.429 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(80000/20) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.35²) = 9.429 Hz

答案

f_d = 9.429 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 10 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 5 = 10 kN/m

答案

k_eq = 10 kN/m

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