动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 90 N 的水平力拉前面 4 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgF = 90 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 31 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 31 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 90 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 90 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.5 kgr = 0.8 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 30°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 26 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 13.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 17 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 13.5 kgM = 17 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

质量为 1 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 35 g 的子弹以 120 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.72 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 1 kgL = 1.3 mm = 35 gv = 120 m/sd = 0.72 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 150 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 315 mm 的带轮，打滑率为 3 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（24 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 24B = 72C = 25D = 72

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.4 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2 kg 的物体连在 k = 70 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2 kgk = 70 N/mA = 15 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 40 kgk = 15 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 85.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·4.5) = 85.73 m

答案

s = 85.73 m

2.运动学

答案: d = 77.47 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1441))/(2·4.905) = 3.974 s

深度

d = ½·9.81·3.974² = 77.47 m

答案

d = 77.47 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 10.4 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 17.17)/7 = 10.4 m/s²

答案

a = 10.4 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 0.6973 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 20° = 9.397 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 20° = 3.42 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·3.42/9.81 = 0.6973 s

答案

t = 0.6973 s

6.抛体运动

答案: v = 40.59 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 31·cos 45° = 21.92 m/s

v_y0 = 31·sin 45° = 21.92 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(21.92² + 2·9.81·35) = 34.16 m/s

落水速度

v = √(21.92² + 34.16²) = 40.59 m/s

答案

v = 40.59 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 24.86 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·90) = 24.86 m/s

答案

v_max = 24.86 m/s (89.5 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 113.9 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10² − 4·9.81·0.8 = 68.61 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.5·68.61/0.8 − 1.5·9.81 = 113.9 N

答案

T_top = 113.9 N

9.功和能

答案: T = 2.488 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 30°) = 7.886 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·7.886/3 = 2.488 N

答案

T = 2.488 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 2.488 N。

10.功和能

答案: v = 8.831 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.15·3.5) = 97.49 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.975) = 8.831 m/s

答案

v = 8.831 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3.733 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·4 = −0.2667 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·4 = 3.733 m/s

答案

v′₂ = 3.733 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 19.8 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(18 + 26) = 19.8 N·s

答案

J = 19.8 N·s

13.刚体转动

答案: a = 6.02 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 13.5·9.81/(13.5 + 8.5) = 6.02 m/s²

答案

a = 6.02 m/s²

14.刚体转动

答案: ω = 5.201 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 1·1.3²/3 + 0.035·0.72² = 0.5815 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.035·120·0.72/0.5815 = 5.201 rad/s

答案

ω = 5.201 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 669.8 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·150/315 = 690.5 rpm

有打滑

n₂ = 690.5·0.97 = 669.8 rpm

答案

n₂ = 669.8 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 167.8 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1450·24/72 = 483.3 rpm = n_C

第二级

n_out = 483.3·25/72 = 167.8 rpm

答案

n_out = 167.8 rpm

总传动比 = 8.64 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.108 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.4/9.81) = 3.108 s

答案

T = 3.108 s

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.7875 J

角频率

ω = √(70/2) = 5.916 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·70·0.15² = 0.7875 J

答案

E = 0.7875 J

19.机械振动

答案: f_d = 2.94 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(15000/40) = 19.36 rad/s

f_n = 19.36/(2π) = 3.082 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.082·√(1 − 0.3²) = 2.94 Hz

答案

f_d = 2.94 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 130 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 100 + 30 = 130 kN/m

答案

k_eq = 130 kN/m

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