动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 5 s，然后匀速行驶 30 s，最后以 4 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 5 st₂ = 30 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.6 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3.5 m/sd = 1.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 800 kg 的汽车以 13 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 50 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 800 kgv = 13 m/sr = 50 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 260 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 260 mθ = 18°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.1d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 16 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1700 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 23.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1700 kgd = 23.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一根轴在 1900 rpm 时传递 75 kW。求轴中的转矩 T。

P = 75 kWn = 1900 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

质量为 8.5 kg、长为 1 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 50 g 的子弹以 240 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.5 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 8.5 kgL = 1 mm = 50 gv = 240 m/sd = 0.5 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW、960 rpm 的电动机驱动一个 1 头的蜗杆。蜗轮有 48 个齿，传动效率为 65%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 1N_w = 48n = 960 rpmP = 3 kWη = 65%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 960 rpmA = 36B = 60C = 12D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2 kg 木块中。木块连在一根 k = 1200 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 350 m/sM = 2 kgk = 1200 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块由刚度为 10 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 450 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 20 kgk = 10 kN/mc = 450 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 15 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 40 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

答案

s = 40 m

2.运动学

答案: s = 515.6 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·5 = 15 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·3·5² = 37.5 m

s₂ = 15·30 = 450 m

s₃ = 15²/(2·4) = 28.13 m

总距离

s = 37.5 + 450 + 28.13 = 515.6 m

答案

s = 515.6 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3902

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·1.6) = 3.828 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.828/9.81 = 0.3902

答案

μ = 0.3902

4.牛顿定律

答案: T = 12.26 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0)/5 = 4.905 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·4.905 + 0 = 12.26 N

答案

T = 12.26 N

5.抛体运动

答案: t = 1.403 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 35° = 9.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 35° = 6.883 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·6.883/9.81 = 1.403 s

答案

t = 1.403 s

6.抛体运动

答案: x = 102.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 30° = 23.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 30° = 13.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 13.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.5 + √(182.2 + 686.7))/9.81 = 4.381 s

水平距离

x = v_x·t = 23.38·4.381 = 102.4 m

答案

x = 102.4 m

7.圆周运动

答案: N = 5144 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9.81 − 800·13²/50 = 7848 − 2704 = 5144 N

答案

N = 5144 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 33.47 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(260·9.81·0.4041/0.9202) = 33.47 m/s

答案

v_max = 33.47 m/s

(120.5 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 21.34 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9063 = 35.56 N

F = μN = 0.1·35.56 = 3.556 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.556·6 = 21.34 J

答案

W_f = 21.34 J

10.功和能

答案: x = 36.89 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.15·1.5) = 68.06 J

最大压缩量

½kx² = 68.06 → x = √(2·68.06/1000) = 0.3689 m = 36.89 cm

答案

x = 36.89 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 710.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4)·1.772/0.01 = 710.5 m/s

答案

v = 710.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.77 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·23.5) = 15.18 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·15.18/1900 = 28.77 m/s

答案

v₁ = 28.77 m/s

(103.6 km/h)

13.刚体转动

答案: T = 376.9 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

扭矩

T = P/ω = 75000/199 = 376.9 N·m

答案

T = 376.9 N·m

14.刚体转动

答案: ω = 2.108 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 8.5·1²/3 + 0.05·0.5² = 2.846 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.05·240·0.5/2.846 = 2.108 rad/s

答案

ω = 2.108 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 931.1 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 960·1/48 = 20 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·20/60 = 2.094 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.65·3000/2.094 = 931.1 N·m

答案

T_w = 931.1 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 144 rpm

第一级

n_B = 960·36/60 = 576 rpm = n_C

第二级

n_out = 576·12/48 = 144 rpm

答案

n_out = 144 rpm

总传动比 = 6.667 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.553 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

答案

L = 1.553 m

18.弹簧与单摆

答案: A = 3.568 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·350/2.005 = 0.8728 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1200/2.005) = 24.46 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.8728/24.46 = 0.03568 m = 3.568 cm

答案

A = 3.568 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.5031

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·20) = 894.4 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 450/894.4 = 0.5031

答案

ζ = 0.5031

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 1.233 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/15 + 1/10 → k_eq = 15·10/(15 + 10) = 6 kN/m

固有频率

ω_n = √(6000/100) = 7.746 rad/s

f_n = 7.746/(2π) = 1.233 Hz

答案

f_n = 1.233 Hz

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