动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 32 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 29 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.1 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.1 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 0.4 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.4 kgr = 0.5 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 9 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.25d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 1000 N/mx = 20 cmθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.9 m 的轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1.5 kgL = 1.9 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 9 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 6.5 kg、半径为 0.15 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 9 kgM = 6.5 kgR = 0.15 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 18.5 kg 的实心球以 7.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 18.5 kgv = 7.5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 24、模数为 4 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 1.5 kWn = 2900 rpmN₁ = 24m = 4 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一台 15 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（32 齿），A 与齿轮 B（72 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（50 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 T_out。

P = 15 kWn_in = 1450 rpmA = 32B = 72C = 50D = 72η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 2.1 kg 的物体连在 k = 160 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.1 kgk = 160 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 10 kgk = 20 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 10 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 57.14 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3.5) = 57.14 m

答案

s = 57.14 m

2.运动学

答案: h_max = 272.8 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 32·2 = 64 m/s

h₁ = ½·32·2² = 64 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 64²/(2·9.81) = 208.8 m

h_max = 64 + 208.8 = 272.8 m

答案

h_max = 272.8 m

3.牛顿定律

答案: F = 296.2 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 207.3 + 88.91 = 296.2 N

答案

F = 296.2 N

4.牛顿定律

答案: a = 2.747 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 5.886)/5 = 2.747 m/s²

答案

a = 2.747 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 2.105 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14.74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10.32 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·10.32/9.81 = 2.105 s

答案

t = 2.105 s

6.抛体运动

答案: t = 6.894 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 60° = 14.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 60° = 25.11 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 25.11·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25.11 + √(630.7 + 1177))/9.81 = 6.894 s

答案

t = 6.894 s

7.圆周运动

答案: ω = 2.583 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·2.1)) = 2.583 rad/s

答案

ω = 2.583 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 32.72 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·6²/0.5 = 3.924 + 28.8 = 32.72 N

答案

T = 32.72 N

9.功和能

答案: v = 5.884 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 5.884 m/s

答案

v = 5.884 m/s

10.功和能

答案: d = 1.618 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·1000·0.2² = 20 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 20/(19.62·(0.5 + 0.15·0.866)) = 1.618 m

答案

d = 1.618 m

11.动量与碰撞

答案: v = 576.9 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 3)·1.534/0.008 = 576.9 m/s

答案

v = 576.9 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 197.3 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 35°) = 0.3436 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3436) = 2.596 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.52·2.596/0.02 = 197.3 m/s

答案

v = 197.3 m/s

13.刚体转动

答案: a = 7.207 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 9·9.81/(9 + 3.25) = 7.207 m/s²

答案

a = 7.207 m/s²

14.刚体转动

答案: E_rot = 208.1 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·18.5·7.5² = 520.3 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·520.3 = 208.1 J

答案

E_rot = 208.1 J

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 102.9 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 1500/303.7 = 4.939 N·m

分度圆直径

d = m·N = 4·24 = 96 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·4.939/0.096 = 102.9 N

答案

F_t = 102.9 N

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 307.4 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 1450·(32/72)·(50/72) = 447.5 rpm

ω_out = 2π·447.5/60 = 46.87 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 15000·0.98² = 14406 W

T_out = P_out/ω_out = 14406/46.87 = 307.4 N·m

答案

T_out = 307.4 N·m

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.4199 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.3/2π)² = 0.4199 m

答案

L = 0.4199 m

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.222 m/s

角频率

ω = √(160/2.1) = 8.729 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.14·8.729 = 1.222 m/s

答案

v_max = 1.222 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 5.083 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(20000/10) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.7²) = 5.083 Hz

答案

f_d = 5.083 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 2.162 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 100 + 20 = 120 kN/m

k_eq = 120·10/(120 + 10) = 9.231 kN/m

固有频率

ω_n = √(9231/50) = 13.59 rad/s

f_n = 13.59/(2π) = 2.162 Hz

答案

f_n = 2.162 Hz

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