动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 40 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 30 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 6 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 65°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 120 m 的弯道倾斜 10°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 120 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 70 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 70 mθ = 20°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 4.5 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 2 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 6.5 kg、长为 2.4 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 6.5 kgL = 2.4 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 1.5 kg 的实心球以 4.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 1.5 kgv = 4.5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 24 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 48 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 1.1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 24N₂ = 48η = 96%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（32 齿）。齿轮 C（40 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 270 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 960 rpmA = 18B = 32C = 40n_out = 270 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 5.18 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.1 mT = 5.18 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.4 s，振幅为 7 cm。它从平衡位置运动到位移 4.9 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.4 sA = 7 cmx = 4.9 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 40 mm 之后 3 个周期出现峰值 8.8 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 40 mmx₃ = 8.8 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 40 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 27.78 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5) = 27.78 m

答案

s = 27.78 m

2.运动学

答案: d = 15.12 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 617.4 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·617.4))/(2·4.905) = 1.756 s

深度

d = ½·9.81·1.756² = 15.12 m

答案

d = 15.12 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 23.54 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 7.848)/8 = 3.924 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·3.924 + 7.848 = 23.54 N

答案

T = 23.54 N

5.抛体运动

答案: t = 2.789 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 20° = 37.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 20° = 13.68 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·13.68/9.81 = 2.789 s

答案

t = 2.789 s

6.抛体运动

答案: x = 67.36 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 12.68 m/s, v_y = 27.19 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

6 = 27.19·t − 4.905·t²

t = (27.19 + √(27.19² − 2·9.81·6))/9.81 = 5.313 s

水平距离

x = v_x·t = 12.68·5.313 = 67.36 m

答案

x = 67.36 m

7.圆周运动

答案: v = 14.41 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(120·9.81·tan 10°) = 14.41 m/s

答案

v = 14.41 m/s

(51.87 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 22.62 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(70·9.81·0.6239/0.8371) = 22.62 m/s

答案

v_max = 22.62 m/s

(81.45 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 8.496 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.866 = 42.48 N

F = μN = 0.1·42.48 = 4.248 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.248·2 = 8.496 J

答案

W_f = 8.496 J

10.功和能

答案: v = 8.859 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(4.5 − 0.2·2.5) = 392.4 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

答案

v = 8.859 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 1)/(1.5 + 1)·10 = 2 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 1)·10 = 12 m/s

答案

v′₂ = 12 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 386.1 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 20°) = 0.1206 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1206) = 1.538 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.538/0.02 = 386.1 m/s

答案

v = 386.1 m/s

13.刚体转动

答案: α = 6.131 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.4) = 6.131 rad/s²

答案

α = 6.131 rad/s²

14.刚体转动

答案: E_k = 21.26 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·1.5·4.5² = 15.19 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·15.19 = 6.075 J

合计

E_k = 15.19 + 6.075 = 21.26 J

答案

E_k = 21.26 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 7.295 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150.8 = 7.295 N·m

答案

T₁ = 7.295 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 80

中间轴转速

n_B = n_C = 960·18/32 = 540 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 40·540/270 = 80

答案

N_D = 80

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.618 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/5.18² = 1.618 m/s²

答案

g = 1.618 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.2962 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.4 = 2.618 rad/s

求解时间

0.7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.7) = 0.7754 rad

t = 0.7754/2.618 = 0.2962 s

答案

t = 0.2962 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.08007

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(40/8.8) = 0.5047

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5047/√(39.48 + 0.2547) = 0.08007

答案

ζ = 0.08007

20.机械振动

答案: f_n = 4.745 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/5 + 1/40 → k_eq = 5·40/(5 + 40) = 4.444 kN/m

固有频率

ω_n = √(4444/5) = 29.81 rad/s

f_n = 29.81/(2π) = 4.745 Hz

答案

f_n = 4.745 Hz

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