动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 5.5 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 35 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 33 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 110 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 110 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 7 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 7 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 2 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 12 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 12 m/sv_out = 10 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 15 kg、长为 2.1 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 15 kgL = 2.1 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

质量为 2 kg、长为 1.1 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 50 g 的子弹以 340 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.54 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 2 kgL = 1.1 mm = 50 gv = 340 m/sd = 0.54 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 48 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 5.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 16N₂ = 48η = 96%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（36 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 312.5 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 3000 rpmA = 15B = 36C = 12n_out = 312.5 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 0.9 kg 的物体连在 k = 40 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.9 kgk = 40 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块挂在刚度为 2 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 15 kgk = 2 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.938 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/4.5 = 4.938 s

答案

t = 4.938 s

2.运动学

答案: t = 4.735 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.735 s

答案

t = 4.735 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 0.8062 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 53.96 N

m₁·g·sin θ = 41.46 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (53.96 − 41.46 − 0)/15.5 = 0.8062 m/s²

答案

a = 0.8062 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 18.67 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·35/sin 100°) = 18.67 m/s

答案

v₀ = 18.67 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.107 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 35° = 27.03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 35° = 18.93 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 18.93·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.93 + √(358.3 + 98.1))/9.81 = 4.107 s

答案

t = 4.107 s

7.圆周运动

答案: v_max = 23.23 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·110) = 23.23 m/s

答案

v_max = 23.23 m/s (83.62 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 17.5 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·7 = 17.5 m

答案

h_min = 17.5 m

9.功和能

答案: h = 2.039 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 5/2.453 = 2.039 m

答案

h = 2.039 m

10.功和能

答案: v = 7.142 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.3·3) = 255.1 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.6) = 7.142 m/s

答案

v = 7.142 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 257.3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2)·1.534/0.012 = 257.3 m/s

答案

v = 257.3 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 13.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(10 + 12) = 13.2 N·s

答案

J = 13.2 N·s

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.1) = 7.007 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 7.007·2.1 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: ω = 11.18 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 2·1.1²/3 + 0.05·0.54² = 0.8212 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.05·340·0.54/0.8212 = 11.18 rad/s

答案

ω = 11.18 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 54.71 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100.5 = 54.71 N·m

答案

T₁ = 54.71 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 48

中间轴转速

n_B = n_C = 3000·15/36 = 1250 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 12·1250/312.5 = 48

答案

N_D = 48

17.弹簧与单摆

答案: L = 2.236 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答案

L = 2.236 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 0.8889 m/s²

角频率

ω = √(40/0.9) = 6.667 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.02·6.667² = 0.8889 m/s²

答案

a_max = 0.8889 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 1.684 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(2000/15) = 11.55 rad/s

f_n = 11.55/(2π) = 1.838 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.838·√(1 − 0.4²) = 1.684 Hz

答案

f_d = 1.684 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 4.978 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 10 + 80 = 90 kN/m

k_eq = 90·25/(90 + 25) = 19.57 kN/m

固有频率

ω_n = √(19565/20) = 31.28 rad/s

f_n = 31.28/(2π) = 4.978 Hz

答案

f_n = 4.978 Hz

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