动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 1.3 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 7.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 29 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 7.5 m/sd = 29 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 6.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 6 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 19 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 19 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个系在长 1.4 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 35° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.4 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 7.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.2 kgr = 0.8 mv_bottom = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 17 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 15°μ = 0.15d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 38 m/s 水平运动的 17 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。2 kg 的碎片以 95 m/s 继续向前运动。求 15 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 17 kgu = 38 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 95 m/sm₂ = 15 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 0.8 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 1 kgL = 0.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 4.5 kg、长为 0.6 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 4.5 kgL = 0.6 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个薄圆环沿与水平面成 40° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 7 m 需要多长时间 t？

θ = 40°I = m·r²g = 9.81 m/s²s = 7 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 48 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。忽略损失。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 48N₂ = 50η = 100%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 720 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 1200 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 250 mmC = 1200 mmμ = 0.35T₁ = 2000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一颗以 200 m/s 运动的 20 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 4 kg 木块中。木块连在一根 k = 1900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 20 gv = 200 m/sM = 4 kgk = 1900 N/m

A = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 4 个周期出现峰值 11 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₄ = 11 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 10 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 46.92 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1.3 = 21.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

合计

d = 21.67 + 25.25 = 46.92 m

答案

d = 46.92 m

2.运动学

答案: t = 2.824 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·25))/9.81 = 2.824 s

答案

t = 2.824 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.09886

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 7.5²/(2·29) = 0.9698 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9698/9.81 = 0.09886

答案

μ = 0.09886

4.牛顿定律

答案: T = 51.92 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 36.57 N

μ·m₁·g·cos θ = 7.835 N

系统的加速度

a = (58.86 − 36.57 − 7.835)/12.5 = 1.156 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9.81 − 1.156) = 51.92 N

答案

T = 51.92 N

5.抛体运动

答案: t = 5.31 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 50° = 21.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 50° = 26.05 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·26.05/9.81 = 5.31 s

答案

t = 5.31 s

6.抛体运动

答案: α = 73.7 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 19·cos 60° = 9.5 m/s

v_y0 = 19·sin 60° = 16.45 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(16.45² + 2·9.81·40) = 32.49 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 32.49/9.5 → α = 73.7°

答案

α = 73.7°

7.圆周运动

答案: T = 2.148 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.4·sin 35° = 0.803 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.803·9.81·tan 35°) = 2.349 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.803/2.349 = 2.148 s

答案

T = 2.148 s

8.圆周运动

答案: T_top = 25.51 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 7.5² − 4·9.81·0.8 = 24.86 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.2·24.86/0.8 − 1.2·9.81 = 25.51 N

答案

T_top = 25.51 N

9.功和能

答案: W_f = 48.33 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9659 = 18.95 N

F = μN = 0.15·18.95 = 2.843 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.843·17 = 48.33 J

答案

W_f = 48.33 J

10.功和能

答案: v = 9.291 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.15·4) = 86.33 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.4) = 9.291 m/s

答案

v = 9.291 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 30.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 17·38 = 646 kg·m/s

碰撞后的动量

646 = 2·95 + 15·v′₂

v′₂ = (646 − 190)/15 = 30.4 m/s

答案

v′₂ = 30.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 65.83 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 20°) = 0.04825 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.04825) = 0.9729 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.015·0.9729/0.015 = 65.83 m/s

答案

v = 65.83 m/s

13.刚体转动

答案: α = 24.53 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.6) = 24.53 rad/s²

答案

α = 24.53 rad/s²

14.刚体转动

答案: t = 2.107 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 40°/2 = 3.153 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·7/3.153) = 2.107 s

答案

t = 2.107 s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 19.89 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m

输出扭矩

T₂ = 19.1·50/48·1 = 19.89 N·m

答案

T₂ = 19.89 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.921 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 3 rad

松边张力

e^μθ = e^1.05 = 2.857, T₂ = 2000/2.857 = 699.9 N

功率

P = (2000 − 699.9)·3.016 = 3.921 kW

答案

P = 3.921 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.172 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.5/9.81) = 3.172 s

答案

T = 3.172 s

18.弹簧与单摆

答案: A = 4.577 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.02·200/4.02 = 0.995 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1900/4.02) = 21.74 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.995/21.74 = 0.04577 m = 4.577 cm

答案

A = 4.577 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.03989

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(30/11) = 0.2508

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2508/√(39.48 + 0.06291) = 0.03989

答案

ζ = 0.03989

20.机械振动

答案: f_n = 1.997 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 12 + 25 = 37 kN/m

k_eq = 37·10/(37 + 10) = 7.872 kN/m

固有频率

ω_n = √(7872/50) = 12.55 rad/s

f_n = 12.55/(2π) = 1.997 Hz

答案

f_n = 1.997 Hz

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