动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 80 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 80 km/ht_r = 1.1 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 160 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 30 kgF = 160 Nθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 8 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 1100 kg 的汽车以 23 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1100 kgv = 23 m/sr = 95 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.9 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 1.4 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 19 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.35d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 2000 N/mx = 20 cmθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1900 kgd = 21.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 13 kg、长为 2.6 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 13 kgL = 2.6 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

质量为 1 kg、长为 0.8 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 40 g 的子弹以 220 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.72 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 1 kgL = 0.8 mm = 40 gv = 220 m/sd = 0.72 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 960 rpm 转动、直径 160 mm 的主动轮上。紧边张力为 800 N，松边张力为 160 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 800 NT₂ = 160 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 16 个齿，每个行星轮有 20 个齿。行星架固定，太阳轮以 1800 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 16N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的速度 v。

m = 3.2 kgk = 320 N/mA = 5 cmx = 2 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.4 s，振幅为 4 cm。它从最大位移 4 cm 处运动到位移 3.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.4 sA = 4 cmx = 3.6 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 5 个周期出现峰值 3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 20 mmx₅ = 3 mmn = 5

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 30 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 57.37 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 22.22·1.1 = 24.44 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·7.5) = 32.92 m

合计

d = 24.44 + 32.92 = 57.37 m

答案

d = 57.37 m

2.运动学

答案: d = 77.47 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1441))/(2·4.905) = 3.974 s

深度

d = ½·9.81·3.974² = 77.47 m

答案

d = 77.47 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.019 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 160·sin 35° = 202.5 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 131.1 − 40.51

a = 90.56/30 = 3.019 m/s²

答案

a = 3.019 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 42.94 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 49.05 N

m₁·g·sin θ = 33.17 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (49.05 − 33.17 − 0)/13 = 1.222 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 5·(9.81 − 1.222) = 42.94 N

答案

T = 42.94 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 36.87 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 60°) = 36.87 m/s

答案

v₀ = 36.87 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.003 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 50° = 15.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 50° = 18.39 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 18.39·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.39 + √(338 + 98.1))/9.81 = 4.003 s

答案

t = 4.003 s

7.圆周运动

答案: N = 4666 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9.81 − 1100·23²/95 = 10791 − 6125 = 4666 N

答案

N = 4666 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 94.98 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.9·9.81 + 1.9·7.5²/1.4 = 18.64 + 76.34 = 94.98 N

答案

T = 94.98 N

9.功和能

答案: v = 8.567 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.5 − 0.35·0.866)) = 8.567 m/s

答案

v = 8.567 m/s

10.功和能

答案: d = 1.295 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·2000·0.2² = 40 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 40/(49.05·(0.5 + 0.15·0.866)) = 1.295 m

答案

d = 1.295 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 3.5)/(2.5 + 3.5)·6 = −1 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 3.5)·6 = 5 m/s

答案

v′₂ = 5 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 31.82 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·21.5) = 15.91 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3800·15.91/1900 = 31.82 m/s

答案

v₁ = 31.82 m/s

(114.5 km/h)

13.刚体转动

答案: R = 31.88 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.6) = 5.66 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 13·(9.81 − 7.357) = 31.88 N

答案

R = 31.88 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: ω = 27.07 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 1·0.8²/3 + 0.04·0.72² = 0.2341 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.04·220·0.72/0.2341 = 27.07 rad/s

答案

ω = 27.07 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 5.147 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 8.042 m/s

功率

P = (800 − 160)·8.042 = 5147 W = 5.147 kW

答案

P = 5.147 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 514.3 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·20 = 56

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·16/56 = −514.3 rpm

|n_r| = 514.3 rpm

答案

n_r = 514.3 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.4583 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(320/3.2) = 10 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10·√(0.05² − 0.02²) = 0.4583 m/s

答案

v = 0.4583 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.1005 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.4 = 4.488 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/4.488 = 0.1005 s

答案

t = 0.1005 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.06028

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(20/3) = 0.3794

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3794/√(39.48 + 0.144) = 0.06028

答案

ζ = 0.06028

20.机械振动

答案: k_eq = 8.571 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/30 + 1/12 → k_eq = 30·12/(30 + 12) = 8.571 kN/m

答案

k_eq = 8.571 kN/m

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