动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 1.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1400 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 1.75 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 26 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 26 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 23 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 75 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 75 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.5 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.5 kgr = 0.9 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 0.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 500 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 500 N/mx = 8 cmθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 11 m/sv_out = 17 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 31 kg·m² 的飞轮以 1400 rpm 转动。制动器施加 80 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 31 kg·m²n = 1400 rpmT_b = 80 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个薄圆环沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 10°I = m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 4 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 5 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（45 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 16B = 48C = 45D = 50

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.7 kg 的物体连在 k = 460 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.7 kgk = 460 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后一个周期出现峰值 11.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₁ = 11.7 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 80 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: v = 70 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·1.75·1400) = 70 m/s

答案

v = 70 m/s

(252 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 106.8 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 26·1.5 = 39 m/s

h₁ = ½·26·1.5² = 29.25 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 39²/(2·9.81) = 77.52 m

h_max = 29.25 + 77.52 = 106.8 m

答案

h_max = 106.8 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 40.17 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 23.3)/14.5 = 1.776 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9.5·1.776 + 23.3 = 40.17 N

答案

T = 40.17 N

5.抛体运动

答案: t = 1.835 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 30° = 15.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 30° = 9 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9/9.81 = 1.835 s

答案

t = 1.835 s

6.抛体运动

答案: H = 59.82 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 23·sin 25° = 9.72 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 9.72²/(2·9.81) = 4.816 m

离地面的高度

H = 55 + 4.816 = 59.82 m

答案

H = 59.82 m

7.圆周运动

答案: v_max = 27.12 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·75) = 27.12 m/s

答案

v_max = 27.12 m/s

(97.65 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 24.91 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·6²/0.9 = 4.905 + 20 = 24.91 N

答案

T = 24.91 N

9.功和能

答案: T = 5.497 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 20°) = 0.5916 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·0.5916/0.5 = 5.497 N

答案

T = 5.497 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.497 N。

10.功和能

答案: d = 0.4305 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·500·0.08² = 1.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 1.6/(4.905·(0.6428 + 0.15·0.766)) = 0.4305 m

答案

d = 0.4305 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 9.412 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 3.5)/(5 + 3.5)·8 = 1.412 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3.5)·8 = 9.412 m/s

答案

v′₂ = 9.412 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 14 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(17 + 11) = 14 N·s

答案

J = 14 N·s

13.刚体转动

答案: N = 662.8 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1400/60 = 146.6 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·31·146.6² = 333154 J

θ = 333154/80 = 4164 rad

圈数

N = θ/2π = 662.8 rev

答案

N = 662.8 rev

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.08816

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/2 = 0.8517 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 10°/2 = 0.08816

答案

μ_s = 0.08816

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 530.5 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 4000/150.8 = 26.53 N·m

分度圆直径

d = m·N = 5·20 = 100 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·26.53/0.1 = 530.5 N

答案

F_t = 530.5 N

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 435 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1450·16/48 = 483.3 rpm = n_C

第二级

n_out = 483.3·45/50 = 435 rpm

答案

n_out = 435 rpm

总传动比 = 3.333 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.68 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

答案

L = 1.68 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 19.89 m/s²

角频率

ω = √(460/3.7) = 11.15 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.16·11.15² = 19.89 m/s²

答案

a_max = 19.89 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.03951

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(15/11.7) = 0.2485

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06173) = 0.03951

答案

ζ = 0.03951

20.机械振动

答案: k_eq = 10.43 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/12 + 1/80 → k_eq = 12·80/(12 + 80) = 10.43 kN/m

答案

k_eq = 10.43 kN/m

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