动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 8 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 145 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgF = 145 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 110 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 110 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 14 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 14 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 20 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 20 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.6 kgr = 1 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 12 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 1.1 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2 kgL = 1.1 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 2 kg、长为 0.9 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 2 kgL = 0.9 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 1.5 kg 的实心球以 1.5 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 1.5 kgv = 1.5 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一台 0.75 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 18 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 0.75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 16N₂ = 18η = 98%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 200 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 120 mmd₂ = 200 mmC = 500 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 30 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 11 cm 时的动能 K。

k = 30 N/mA = 14 cmx = 11 cm

K = J

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 5 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 10 kgk = 5 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 30 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 74.07 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7.5) = 74.07 m

答案

s = 74.07 m

2.运动学

答案: h_max = 13.26 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

离地面的高度

h_max = 10 + 3.262 = 13.26 m

答案

h_max = 13.26 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 116 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (145 − 12.26)/5 = 26.55 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(26.55 + 2.453) = 116 N

答案

T = 116 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 34.49 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·110/34² = 0.9335

相角

2θ = 68.98° → θ = 34.49°

答案

θ = 34.49°

另一个解为 90° − θ = 55.51°。

6.抛体运动

答案: α = 58.35 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 14·cos 50° = 8.999 m/s

v_y0 = 14·sin 50° = 10.72 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(10.72² + 2·9.81·5) = 14.6 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 14.6/8.999 → α = 58.35°

答案

α = 58.35°

7.圆周运动

答案: v_max = 9.905 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·20) = 9.905 m/s

答案

v_max = 9.905 m/s (35.66 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 18.04 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·4.5²/1 = 5.886 + 12.15 = 18.04 N

答案

T = 18.04 N

9.功和能

答案: W_f = 16.07 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.8192 = 80.36 N

F = μN = 0.1·80.36 = 8.036 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.036·2 = 16.07 J

答案

W_f = 16.07 J

10.功和能

答案: x = 11.21 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2.5 − 0.2·4.5) = 31.39 J

最大压缩量

½kx² = 31.39 → x = √(2·31.39/5000) = 0.1121 m = 11.21 cm

答案

x = 11.21 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 51641 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·12/2900 = 6.621 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·12² = 115200 J

K_after = ½·2900·6.621² = 63559 J

损失的能量

ΔK = 115200 − 63559 = 51641 J

答案

ΔK = 51641 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 301.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.1·(1 − cos 40°) = 0.2574 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2574) = 2.247 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.015·2.247/0.015 = 301.9 m/s

答案

v = 301.9 m/s

13.刚体转动

答案: α = 16.35 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.9) = 16.35 rad/s²

答案

α = 16.35 rad/s²

14.刚体转动

答案: p = 28.57 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·1.5·1.5² = 1.688 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·1.688 = 0.675 J

转动所占的份额

p = 0.675/2.362·100% = c/(1 + c)·100% = 28.57%

答案

p = 28.57 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 4.775 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m

答案

T₁ = 4.775 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 170.8 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.08) = 4.589°

包角

θ = 180 − 2·4.589 = 170.8°

答案

θ = 170.8°

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.5591 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

答案

L = 0.5591 m

18.弹簧与单摆

答案: K = 0.1125 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·30·0.14² = 0.294 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·30·0.11² = 0.1815 J

动能

K = 0.294 − 0.1815 = 0.1125 J

答案

K = 0.1125 J

19.机械振动

答案: f_d = 3.178 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(5000/10) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.45²) = 3.178 Hz

答案

f_d = 3.178 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 23.08 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/30 → k_eq = 100·30/(100 + 30) = 23.08 kN/m

答案

k_eq = 23.08 kN/m

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