动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 32 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 20 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 20 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 1.2 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 100 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 100 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 500 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 500 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 25 m/s 向东行驶的 1100 kg 汽车与一辆以 12 m/s 向北行驶的 1100 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1100 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 12 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

质量为 2 kg、长为 2.1 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 0.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 2 kgL = 2.1 mm_ball = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 10 kg，半径 0.15 m）绕无摩擦的竖直轴以 1050 rpm 自由旋转。一个质量为 15 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。在这个过程中损失了多少动能 ΔE？

M_disc = 10 kgM_ring = 15 kgR = 0.15 mn₁ = 1050 rpm

ΔE = J

15.齿轮与齿轮系中等

一个 160 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 300 mm 的带轮，打滑率为 3 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 300 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 720 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮与一个 450 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 600 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 450 mmC = 800 mmμ = 0.25T₁ = 600 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.91 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.9 mT = 2.91 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 30 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 11 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 2 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 30 N/mA = 11 cmx = 2 cm

U = J

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 12 kgk = 80 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 13.02 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

答案

s = 13.02 m

2.运动学

答案: h_max = 613.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 32·3 = 96 m/s

h₁ = ½·32·3² = 144 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 96²/(2·9.81) = 469.7 m

h_max = 144 + 469.7 = 613.7 m

答案

h_max = 613.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 8.633 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 3.924)/5 = 1.177 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·1.177 + 3.924 = 8.633 N

答案

T = 8.633 N

5.抛体运动

答案: H = 5.391 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 40° = 10.28 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 10.28²/(2·9.81) = 5.391 m

答案

H = 5.391 m

6.抛体运动

答案: x = 32.73 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 50° = 10.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 50° = 13.02 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 13.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.02 + √(169.6 + 98.1))/9.81 = 2.995 s

水平距离

x = v_x·t = 10.93·2.995 = 32.73 m

答案

x = 32.73 m

7.圆周运动

答案: v_max = 14.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·20) = 14.01 m/s

答案

v_max = 14.01 m/s

(50.43 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 36.77 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·5²/1.2 = 11.77 + 25 = 36.77 N

答案

T = 36.77 N

9.功和能

答案: d = 56.18 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.7·9.81) = 56.18 m

答案

d = 56.18 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: d = 0.311 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·500·0.1² = 2.5 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 2.5/(9.81·(0.5736 + 0.3·0.8192)) = 0.311 m

答案

d = 0.311 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 7.636 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·7 = 0.6364 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·7 = 7.636 m/s

答案

v′₂ = 7.636 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 25.64 °

动量分量

p_x = 1100·25 = 27500 kg·m/s

p_y = 1100·12 = 13200 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.48 → θ = 25.64°

答案

θ = 25.64°

13.刚体转动

答案: v = 7.278 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 2·9.81·1.05 + 0.5·9.81·2.1 = 30.9 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2.94 + 2.205 = 5.145 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 30.9 → ω = √(2·30.9/5.145) = 3.466 rad/s

v = ω·L = 3.466·2.1 = 7.278 m/s

答案

v = 7.278 m/s

14.刚体转动

答案: ΔE = 510.1 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·10·0.15² = 0.1125 kg·m²

I₂ = 15·0.15² = 0.3375 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 1050·0.1125/0.45 = 262.5 rpm

碰撞前后的动能

E₁ = ½·0.1125·110² = 680.1 J

E₂ = ½·0.45·27.49² = 170 J

ΔE = 680.1 − 170 = 510.1 J

答案

ΔE = 510.1 J

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 1490 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·160/300 = 1536 rpm

有打滑

n₂ = 1536·0.97 = 1490 rpm

答案

n₂ = 1490 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.341 kW

包角

θ = 2.726 rad

松边张力

e^μθ = e^0.6815 = 1.977, T₂ = 600/1.977 = 303.5 N

功率

P = (600 − 303.5)·4.524 = 1.341 kW

答案

P = 1.341 kW

17.弹簧与单摆

答案: g = 8.858 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/2.91² = 8.858 m/s²

答案

g = 8.858 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: U = 0.006 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·30·0.11² = 0.1815 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·30·0.02² = 0.006 J

答案

U = 0.006 J

19.机械振动

答案: f_d = 11.6 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(80000/12) = 81.65 rad/s

f_n = 81.65/(2π) = 12.99 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12.99·√(1 − 0.45²) = 11.6 Hz

答案

f_d = 11.6 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 18.15 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 60 = 65 kN/m

固有频率

ω_n = √(65000/5) = 114 rad/s

f_n = 114/(2π) = 18.15 Hz

答案

f_n = 18.15 Hz

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