动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 140 Nθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 65 N 的水平力拉前面 4 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgF = 65 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 2 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 65°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 85 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 85 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 220 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 220 mθ = 30°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 13 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.15d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 6 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 5 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 13 m/sv_out = 12 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 3 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 16.5 kg、半径为 0.3 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 3 kgM = 16.5 kgR = 0.3 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个空心球从静止开始，沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.4 m。求它沿斜面滚过 3.5 m 后的角速度 ω。

θ = 30°s = 3.5 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.4 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 30 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 3 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（24 齿）以 2880 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 324 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 2880 rpmA = 24B = 80C = 30n_out = 324 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3 kg 的物体连在 k = 300 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3 kgk = 300 N/mA = 20 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 800 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 80 kN/mc = 800 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 40 kN/m，下弹簧 k₂ = 50 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.667 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/5 = 6.667 s

答案

t = 6.667 s

2.运动学

答案: t = 3.642 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.642 s

答案

t = 3.642 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.616 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 140·sin 40° = 253.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 107.2 − 50.67

a = 56.57/35 = 1.616 m/s²

答案

a = 1.616 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 27.86 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 6.867)/7 = 8.305 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(8.305 + 0.981) = 27.86 N

答案

T = 27.86 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 2.757 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 25° = 13.52 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·13.52/9.81 = 2.757 s

答案

t = 2.757 s

6.抛体运动

答案: x = 89.33 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 14.37 m/s, v_y = 30.81 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

2 = 30.81·t − 4.905·t²

t = (30.81 + √(30.81² − 2·9.81·2))/9.81 = 6.217 s

水平距离

x = v_x·t = 14.37·6.217 = 89.33 m

答案

x = 89.33 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.88 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·85) = 28.88 m/s

答案

v_max = 28.88 m/s

(104 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 31.21 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(220·9.81·0.4134/0.916) = 31.21 m/s

答案

v_min = 31.21 m/s

(112.4 km/h)

9.功和能

答案: v = 11.6 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.6428 − 0.15·0.766)) = 11.6 m/s

答案

v = 11.6 m/s

10.功和能

答案: N = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 3) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·58.86/1.5 − 19.62 = 58.86 N

答案

N = 58.86 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 555.9 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 5)·2.215/0.02 = 555.9 m/s

答案

v = 555.9 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 15 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(12 + 13) = 15 N·s

答案

J = 15 N·s

13.刚体转动

答案: T = 21.58 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 3·9.81/(3 + 8.25) = 2.616 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 3·(9.81 − 2.616) = 21.58 N

答案

T = 21.58 N

14.刚体转动

答案: ω = 11.35 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 3.5·sin 30° = 1.75 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·1.75/1.667) = 4.539 m/s

ω = v/r = 4.539/0.4 = 11.35 rad/s

答案

ω = 11.35 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 19.89 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/150.8 = 19.89 N·m

答案

T₁ = 19.89 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 80

中间轴转速

n_B = n_C = 2880·24/80 = 864 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 30·864/324 = 80

答案

N_D = 80

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.68 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

答案

L = 1.68 m

18.弹簧与单摆

答案: E = 6 J

角频率

ω = √(300/3) = 10 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·300·0.2² = 6 J

答案

E = 6 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.5

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·8) = 1600 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 800/1600 = 0.5

答案

ζ = 0.5

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.355 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/40 + 1/50 → k_eq = 40·50/(40 + 50) = 22.22 kN/m

固有频率

ω_n = √(22222/50) = 21.08 rad/s

f_n = 21.08/(2π) = 3.355 Hz

答案

f_n = 3.355 Hz

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