动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 12 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 12 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 12 m/sθ = 45°x = 12 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 32 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 35°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.1 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3.1 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的球系在长 0.6 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1 kgr = 0.6 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 60 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 60 Nθ = 15°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 16 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 600 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 6 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 800 kgd = 6 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 41 s 把转动惯量为 27.5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 500 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 27.5 kg·m²n = 500 rpmt = 41 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个质量为 18.5 kg 的实心圆柱以 3 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 18.5 kgv = 3 m/sI = ½·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW、1440 rpm 的电动机驱动一个 2 头的蜗杆。蜗轮有 80 个齿，传动效率为 75%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 2N_w = 80n = 1440 rpmP = 3 kWη = 75%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 400 mmC = 800 mmμ = 0.25T₁ = 2000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.4 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.22 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.4 mT = 2.22 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

把一个 1.9 kg 的物体挂在一根 k = 440 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1.9 kgk = 440 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 1 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 50 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 1 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 12.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12.5 m

答案

s = 12.5 m

2.运动学

答案: d = 33.24 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 926.1 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·926.1))/(2·4.905) = 2.603 s

深度

d = ½·9.81·2.603² = 33.24 m

答案

d = 33.24 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 24.9 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 9.81)/13 = 1.509 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·1.509 + 9.81 = 24.9 N

答案

T = 24.9 N

5.抛体运动

答案: y = 2.19 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 12·cos 45° = 8.485 m/s

t = x/v_x = 12/8.485 = 1.414 s

此时的高度

y = 8.485·1.414 − ½·9.81·1.414² = 2.19 m

答案

y = 2.19 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 75.96 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 26.21 m/s, v_y = 18.35 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 18.35·t − 4.905·t²

t = (18.35 + √(18.35² − 2·9.81·12))/9.81 = 2.898 s

水平距离

x = v_x·t = 26.21·2.898 = 75.96 m

答案

x = 75.96 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.297 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·3.1)) = 2.297 rad/s

答案

ω = 2.297 rad/s

8.圆周运动

答案: T_top = 117.6 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10² − 4·9.81·0.6 = 76.46 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·76.46/0.6 − 1·9.81 = 117.6 N

答案

T_top = 117.6 N

9.功和能

答案: h = 3.262 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 6.4/1.962 = 3.262 m

答案

h = 3.262 m

10.功和能

答案: v = 4.516 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 25.39 N

μ·mg·cos θ = 14.21 N

功–能关系

½mv² = (60 − 39.6)·5 = 102 J

v = √(2·102/10) = 4.516 m/s

答案

v = 4.516 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 72.73 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·16/2200 = 4.364 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·16² = 76800 J

K_after = ½·2200·4.364² = 20945 J

损失的比例

ΔK/K = 55855/76800 = 72.73 %

答案

ΔK/K = 72.73 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 13.35 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·6) = 9.396 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·9.396/1900 = 13.35 m/s

答案

v₁ = 13.35 m/s

(48.07 km/h)

13.刚体转动

答案: P_avg = 0.9194 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·27.5·52.36² = 37696 J

平均功率

P_avg = E/t = 37696/41 = 919.4 W = 0.9194 kW

答案

P_avg = 0.9194 kW

14.刚体转动

答案: E_k = 124.9 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·18.5·3² = 83.25 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·83.25 = 41.63 J

合计

E_k = 83.25 + 41.63 = 124.9 J

答案

E_k = 124.9 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 596.8 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1440·2/80 = 36 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·36/60 = 3.77 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.75·3000/3.77 = 596.8 N·m

答案

T_w = 596.8 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 16.17 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.891 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7227 = 2.06, T₂ = 2000/2.06 = 970.8 N

功率

P = (2000 − 970.8)·15.71 = 16.17 kW

答案

P = 16.17 kW

17.弹簧与单摆

答案: g = 11.21 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.4/2.22² = 11.21 m/s²

答案

g = 11.21 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.6446 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.9·9.81/440 = 0.04236 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(440/1.9) = 15.22 rad/s

v_max = A·ω = 0.04236·15.22 = 0.6446 m/s

答案

v_max = 0.6446 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.2795

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(1000·8) = 178.9 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 50/178.9 = 0.2795

答案

ζ = 0.2795

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 50 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 40 + 10 = 50 kN/m

答案

k_eq = 50 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics