动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1100 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 9.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 23 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9.5 m/sd = 23 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 25 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 25 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 140 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 140 mθ = 20°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 24 m/s 向东行驶的 1300 kg 汽车与一辆以 24 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1300 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 24 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

一个 1.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 13.5 kg、半径为 0.45 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 1.5 kgM = 13.5 kgR = 0.45 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 5 kg 的哑铃，距转轴 0.8 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4.5 kg·m²。他们以 55 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.15 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 4.5 kg·m²m = 2 × 5 kgr₁ = 0.8 mr₂ = 0.15 mn₁ = 55 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 240 mm。须用一对模数为 5 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 240 mmm = 5 mmi = 3

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（40 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 40B = 45C = 12D = 40

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 200 N/m 弹簧上的 1.5 kg 物体被沿正方向拉开 15 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.3 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.5 kgk = 200 N/mA = 15 cmt = 0.3 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 260 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.3 kgk = 260 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 200 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 320 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 200 kgk = 20 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 15 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 87.75 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1100) = 87.75 m/s

答案

v = 87.75 m/s

(315.9 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 38.05 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

离地面的高度

h_max = 25 + 13.05 = 38.05 m

答案

h_max = 38.05 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 9.5²/(2·23) = 1.962 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.962/9.81 = 0.2

答案

μ = 0.2

4.牛顿定律

答案: a = 4.204 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 0)/3.5 = 4.204 m/s²

答案

a = 4.204 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 39.14 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27.71 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 27.71²/(2·9.81) = 39.14 m

答案

H = 39.14 m

6.抛体运动

答案: H = 40.48 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 25·sin 35° = 14.34 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 14.34²/(2·9.81) = 10.48 m

离地面的高度

H = 30 + 10.48 = 40.48 m

答案

H = 40.48 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.59 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·130) = 22.59 m/s

答案

v_max = 22.59 m/s (81.31 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 30.46 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(140·9.81·0.5769/0.8542) = 30.46 m/s

答案

v_max = 30.46 m/s

(109.6 km/h)

9.功和能

答案: d = 35.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.4·9.81) = 35.39 m

答案

d = 35.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 24.26 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.25·3.5) = 44.15 J

最大压缩量

½kx² = 44.15 → x = √(2·44.15/1500) = 0.2426 m = 24.26 cm

答案

x = 24.26 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 11.58 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4.5)/(5 + 4.5)·11 = 0.5789 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4.5)·11 = 11.58 m/s

答案

v′₂ = 11.58 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 37.57 °

动量分量

p_x = 1300·24 = 31200 kg·m/s

p_y = 1000·24 = 24000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.7692 → θ = 37.57°

答案

θ = 37.57°

13.刚体转动

答案: a = 1.784 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 1.5·9.81/(1.5 + 6.75) = 1.784 m/s²

答案

a = 1.784 m/s²

14.刚体转动

答案: n₂ = 126.9 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 4.5 + 2·5·0.8² = 10.9 kg·m²

I₂ = 4.5 + 2·5·0.15² = 4.725 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 55·10.9/4.725 = 126.9 rpm

答案

n₂ = 126.9 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 24

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/5 = 96

按传动比分配

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

答案

N₁ = 24

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 773.3 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 2900·40/45 = 2578 rpm = n_C

第二级

n_out = 2578·12/40 = 773.3 rpm

答案

n_out = 773.3 rpm

总传动比 = 3.75 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = −14.23 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(200/1.5) = 11.55 rad/s

ω·t = 11.55·0.3 = 3.464 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(3.464) = −14.23 cm

答案

x = −14.23 cm

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 4.71 m/s

角频率

ω = √(260/0.3) = 29.44 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.16·29.44 = 4.71 m/s

答案

v_max = 4.71 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.08

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·200) = 4000 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 320/4000 = 0.08

答案

ζ = 0.08

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 1.541 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/15 + 1/25 → k_eq = 15·25/(15 + 25) = 9.375 kN/m

固有频率

ω_n = √(9375/100) = 9.682 rad/s

f_n = 9.682/(2π) = 1.541 Hz

答案

f_n = 1.541 Hz

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