动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 1500 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3.5 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3.5 m/sθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 22 m/s 抛出，必须落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 22 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 18 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 70°h_roof = 18 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 800 kg 的汽车以 23 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 120 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 800 kgv = 23 m/sr = 120 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.3 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.3 kgr = 0.5 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 4 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.25d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 20 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1500 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 23 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机用 58 s 把转动惯量为 18 kg·m² 的飞轮从静止加速到 600 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 18 kg·m²n = 600 rpmt = 58 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

质量为 5.5 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 500 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.52 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 5.5 kgL = 1.3 mm = 10 gv = 500 m/sd = 0.52 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一台 7.5 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 40 的大齿轮啮合。忽略损失。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 7.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 16N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（40 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1440 rpmA = 40B = 48C = 30D = 72

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.6 kg 的物体连在 k = 220 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.6 kgk = 220 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块由刚度为 12 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 490 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 20 kgk = 12 kN/mc = 490 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 50 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.016 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·1500) = 2.016 m/s²

答案

a = 2.016 m/s²

2.运动学

答案: d = 107.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1715 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1715))/(2·4.905) = 4.686 s

深度

d = ½·9.81·4.686² = 107.7 m

答案

d = 107.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.216 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.1·cos 25°) = 5.035 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3.5²/(2·5.035) = 1.216 m

答案

d = 1.216 m

5.抛体运动

答案: θ = 11.96 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/22² = 0.4054

相角

2θ = 23.91° → θ = 11.96°

答案

θ = 11.96°

另一个解为 90° − θ = 78.04°。

6.抛体运动

答案: x = 64.06 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 11.29 m/s, v_y = 31.01 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

18 = 31.01·t − 4.905·t²

t = (31.01 + √(31.01² − 2·9.81·18))/9.81 = 5.676 s

水平距离

x = v_x·t = 11.29·5.676 = 64.06 m

答案

x = 64.06 m

7.圆周运动

答案: N = 4321 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9.81 − 800·23²/120 = 7848 − 3527 = 4321 N

答案

N = 4321 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 179.2 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·8²/0.5 = 12.75 + 166.4 = 179.2 N

答案

T = 179.2 N

9.功和能

答案: v = 5.951 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.6428 − 0.25·0.766)) = 5.951 m/s

答案

v = 5.951 m/s

10.功和能

答案: d = 2.333 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·5000·0.15² = 56.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56.25/(29.43·(0.5736 + 0.3·0.8192)) = 2.333 m

答案

d = 2.333 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 57.14 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·20/3500 = 8.571 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·20² = 300000 J

K_after = ½·3500·8.571² = 128571 J

损失的比例

ΔK/K = 171429/300000 = 57.14 %

答案

ΔK/K = 57.14 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 483.8 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(20 + 23) = 19.35 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 19.35/0.04 = 483.8 N

答案

F_avg = 483.8 N

13.刚体转动

答案: P_avg = 0.6126 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·18·62.83² = 35531 J

平均功率

P_avg = E/t = 35531/58 = 612.6 W = 0.6126 kW

答案

P_avg = 0.6126 kW

14.刚体转动

答案: φ = 14.31 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 5.5·1.3²/3 + 0.01·0.52² = 3.101 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·500·0.52/3.101 = 0.8384 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·3.101·0.8384² = 1.09 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 35.12·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 1.09/35.12 = 0.969 → φ = 14.31°

答案

φ = 14.31°

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 74.6 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m

答案

T₁ = 74.6 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 500 rpm

第一级

n_B = 1440·40/48 = 1200 rpm = n_C

第二级

n_out = 1200·30/72 = 500 rpm

答案

n_out = 500 rpm

总传动比 = 2.88 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 0.8971 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

答案

T = 0.8971 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.564 m/s

角频率

ω = √(220/2.6) = 9.199 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.17·9.199 = 1.564 m/s

答案

v_max = 1.564 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.5001

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·20) = 979.8 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 490/979.8 = 0.5001

答案

ζ = 0.5001

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 11.75 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/60 + 1/50 → k_eq = 60·50/(60 + 50) = 27.27 kN/m

固有频率

ω_n = √(27273/5) = 73.85 rad/s

f_n = 73.85/(2π) = 11.75 Hz

答案

f_n = 11.75 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics