动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 24 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 24 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 34 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 34 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 6.5 kg 和 1 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 85 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 95 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 95 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 5 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 4 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 0.7 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3 kgL = 0.7 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 0.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 12.5 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块下落 3 m 后的速度 v。

m = 0.5 kgM = 12.5 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²h = 3 m

v = m/s

14.刚体转动困难

一个质量为 3.5 kg 的空心球以 4 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 3.5 kgv = 4 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 30、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 4 kWn = 2900 rpmN₁ = 30m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 800 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 125 mmd₂ = 450 mmC = 800 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的 3.7 kg 物体被沿正方向拉开 9 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.8 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.7 kgk = 60 N/mA = 9 cmt = 0.8 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 1.4 kg 的物体连在 k = 190 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.4 kgk = 190 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后一个周期出现峰值 24.8 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₁ = 24.8 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 40 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 288 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·24/4 = 12 s

距离

d = v·t = 24·12 = 288 m

答案

d = 288 m

此时警车的速度为 2v = 48 m/s。

2.运动学

答案: t = 16.8 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 34·2 = 68 m/s

h₁ = ½·34·2² = 68 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (68 + √(68² + 2·9.81·68))/9.81 = 14.8 s

t = 2 + 14.8 = 16.8 s

答案

t = 16.8 s

3.牛顿定律

答案: T = 17 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (6.5 − 1)·9.81/(6.5 + 1) = 7.194 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1·(9.81 + 7.194) = 17 N

答案

T = 17 N

4.牛顿定律

答案: d = 10.51 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·5.755) = 10.51 m

答案

d = 10.51 m

5.抛体运动

答案: θ = 17.64 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/38² = 0.5775

相角

2θ = 35.27° → θ = 17.64°

答案

θ = 17.64°

另一个解为 90° − θ = 72.36°。

6.抛体运动

答案: x = 153.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 14.37·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.37 + √(206.5 + 981))/9.81 = 4.977 s

水平距离

x = v_x·t = 30.81·4.977 = 153.4 m

答案

x = 153.4 m

7.圆周运动

答案: v_max = 23.65 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·95) = 23.65 m/s

答案

v_max = 23.65 m/s (85.13 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.285 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.1) = 3.285 m/s

答案

v_min = 3.285 m/s

9.功和能

答案: W_f = 1.879 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N

F = μN = 0.1·3.757 = 0.3757 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.3757·5 = 1.879 J

答案

W_f = 1.879 J

10.功和能

答案: v = 8.52 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.2·1.5) = 363 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.7) = 8.52 m/s

答案

v = 8.52 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·5 = −1.667 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·5 = 3.333 m/s

答案

v′₁ = −1.667 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v = 114.7 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 10°) = 0.01063 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.01063) = 0.4568 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.012·0.4568/0.012 = 114.7 m/s

答案

v = 114.7 m/s

13.刚体转动

答案: v = 2.088 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 0.5·9.81/(0.5 + 6.25) = 0.7267 m/s²

下落后的速度

v = √(2·a·h) = √(2·0.7267·3) = 2.088 m/s

答案

v = 2.088 m/s

14.刚体转动

答案: p = 40 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·3.5·4² = 28 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·28 = 18.67 J

转动所占的份额

p = 18.67/46.67·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

答案

p = 40 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 292.7 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 4000/303.7 = 13.17 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·30 = 90 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·13.17/0.09 = 292.7 N

答案

F_t = 292.7 N

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 156.6 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.2031) = 11.72°

包角

θ = 180 − 2·11.72 = 156.6°

答案

θ = 156.6°

17.弹簧与单摆

答案: x = −8.971 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(60/3.7) = 4.027 rad/s

ω·t = 4.027·0.8 = 3.222 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(3.222) = −8.971 cm

答案

x = −8.971 cm

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.631 m/s

角频率

ω = √(190/1.4) = 11.65 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.14·11.65 = 1.631 m/s

答案

v_max = 1.631 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.03028

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(30/24.8) = 0.1904

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1904/√(39.48 + 0.03623) = 0.03028

答案

ζ = 0.03028

20.机械振动

答案: f_n = 4.109 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/80 + 1/40 → k_eq = 80·40/(80 + 40) = 26.67 kN/m

固有频率

ω_n = √(26667/40) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

答案

f_n = 4.109 Hz

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