动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 260 km/h 的速度，可用跑道长 800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 260 km/hs = 800 m

a = m/s²

2.运动学困难

球 A 从 45 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 27 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 45 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 14 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 14 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 35 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 240 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 240 mθ = 20°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.2d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.4）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 4 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0.4d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 14 m/s 水平运动的 13 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。6 kg 的碎片以 42 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 13 kgu = 14 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 42 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 28 m/sv_out = 8 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 4.5 kg、长为 0.6 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 4.5 kgL = 0.6 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个质量为 6 kg 的空心球以 5 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 6 kgv = 5 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一个 200 mm 的带轮以 720 rpm 通过皮带驱动一个 450 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 720 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 450 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 18B = 40C = 30D = 40

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 30 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.2 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.6 kgk = 30 N/mA = 13 cmt = 0.2 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 2 kg 的物体连在 k = 380 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2 kgk = 380 N/mA = 15 cm

E = J

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 40 mm 之后 4 个周期出现峰值 1.9 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 40 mmx₄ = 1.9 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 40 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 3.26 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·800) = 3.26 m/s²

答案

a = 3.26 m/s²

2.运动学

答案: t = 1.667 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

45 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 45/27 = 1.667 s

答案

t = 1.667 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.691 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 19.62)/14.5 = 1.691 m/s²

答案

a = 1.691 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 2.548 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 45° = 7.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 45° = 7.071 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7.071²/(2·9.81) = 2.548 m

答案

H = 2.548 m

6.抛体运动

答案: H = 71.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 35·sin 55° = 28.67 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 28.67²/(2·9.81) = 41.9 m

离地面的高度

H = 30 + 41.9 = 71.9 m

答案

H = 71.9 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·100) = 19.81 m/s

答案

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 37.84 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(240·9.81·0.53/0.8713) = 37.84 m/s

答案

v_max = 37.84 m/s

(136.2 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 59.47 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.866 = 42.48 N

F = μN = 0.2·42.48 = 8.496 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.496·7 = 59.47 J

答案

W_f = 59.47 J

10.功和能

答案: v = 2.426 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 39.24·1 = 39.24 J

μ·m₁g·d = 0.4·39.24·1 = 15.7 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 23.54 → v = √(2·23.54/8) = 2.426 m/s

答案

v = 2.426 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −10 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 13·14 = 182 kg·m/s

碰撞后的动量

182 = 6·42 + 7·v′₂

v′₂ = (182 − 252)/7 = −10 m/s

答案

v′₂ = −10 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 18 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(8 + 28) = 18 N·s

答案

J = 18 N·s

13.刚体转动

答案: ω = 7.004 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 4.5·9.81·0.3 = 13.24 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 4.5·0.6²/3 = 0.54 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 13.24 → ω = √(2·13.24/0.54) = 7.004 rad/s

答案

ω = 7.004 rad/s

14.刚体转动

答案: p = 40 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·6·5² = 75 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·75 = 50 J

转动所占的份额

p = 50/125·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

答案

p = 40 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 316.8 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

720·200/450 = 320 rpm

有打滑

n₂ = 320·0.99 = 316.8 rpm

答案

n₂ = 316.8 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 506.3 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·18/40 = 675 rpm = n_C

第二级

n_out = 675·30/40 = 506.3 rpm

答案

n_out = 506.3 rpm

总传动比 = 2.963 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = 10.11 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(30/2.6) = 3.397 rad/s

ω·t = 3.397·0.2 = 0.6794 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(0.6794) = 10.11 cm

答案

x = 10.11 cm

18.弹簧与单摆

答案: E = 4.275 J

角频率

ω = √(380/2) = 13.78 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·380·0.15² = 4.275 J

答案

E = 4.275 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.1204

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(40/1.9) = 0.7618

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7618/√(39.48 + 0.5803) = 0.1204

答案

ζ = 0.1204

20.机械振动

答案: f_n = 6.277 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 80 + 60 = 140 kN/m

k_eq = 140·40/(140 + 40) = 31.11 kN/m

固有频率

ω_n = √(31111/20) = 39.44 rad/s

f_n = 39.44/(2π) = 6.277 Hz

答案

f_n = 6.277 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics