动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 2 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 2 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 22 m/s、与水平方向成 55° 的角度朝 37 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 22 m/sθ = 55°x = 37 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 35 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 27 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 55°h_roof = 27 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 270 m 的弯道倾斜 12°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 270 mθ = 12°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 13 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 45°μ = 0.4d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 5 m/s 水平运动的 4 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 62 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 4 kgu = 5 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 62 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 15 m/s 向北行驶的 1900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1500 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 16 kg、长为 1.4 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 16 kgL = 1.4 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 30°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一台 15 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 2 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 15 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 2 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一台 7.5 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（16 齿），A 与齿轮 B（45 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（30 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 T_out。

P = 7.5 kWn_in = 2900 rpmA = 16B = 45C = 30D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 160 N/m 弹簧上的 3.9 kg 物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 3.9 kgk = 160 N/mA = 14 cmx = 1 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.7 s，振幅为 6 cm。它从最大位移 6 cm 处运动到位移 5.4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.7 sA = 6 cmx = 5.4 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 2 kgk = 50 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 5 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 30.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·4.5) = 30.86 m

答案

s = 30.86 m

2.运动学

答案: t = 2.809 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.809 s

答案

t = 2.809 s

3.牛顿定律

答案: T = 31.39 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 2)·9.81/(8 + 2) = 5.886 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9.81 + 5.886) = 31.39 N

答案

T = 31.39 N

4.牛顿定律

答案: T = 19.62 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/9 = 6.54 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·6.54 + 0 = 19.62 N

答案

T = 19.62 N

5.抛体运动

答案: y = 10.67 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 22·cos 55° = 12.62 m/s

t = x/v_x = 37/12.62 = 2.932 s

此时的高度

y = 18.02·2.932 − ½·9.81·2.932² = 10.67 m

答案

y = 10.67 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 93.65 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 20.08 m/s, v_y = 28.67 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

27 = 28.67·t − 4.905·t²

t = (28.67 + √(28.67² − 2·9.81·27))/9.81 = 4.665 s

水平距离

x = v_x·t = 20.08·4.665 = 93.65 m

答案

x = 93.65 m

7.圆周运动

答案: v = 23.73 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(270·9.81·tan 12°) = 23.73 m/s

答案

v = 23.73 m/s

(85.42 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 12.5 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·5 = 12.5 m

答案

h_min = 12.5 m

9.功和能

答案: W_f = 18.04 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.7071 = 3.468 N

F = μN = 0.4·3.468 = 1.387 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.387·13 = 18.04 J

答案

W_f = 18.04 J

10.功和能

答案: v = 5.194 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.25·4.5) = 53.96 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.375) = 5.194 m/s

答案

v = 5.194 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −14 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 4·5 = 20 kg·m/s

碰撞后的动量

20 = 1·62 + 3·v′₂

v′₂ = (20 − 62)/3 = −14 m/s

答案

v′₂ = −14 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 11.55 m/s

动量分量

p_x = 1500·18 = 27000 kg·m/s

p_y = 1900·15 = 28500 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 39259/3400 = 11.55 m/s

答案

v′ = 11.55 m/s

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.4) = 10.51 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 10.51·1.4 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: a = 3.504 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/1.4 = 3.504 m/s²

答案

a = 3.504 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 6217 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 15000/150.8 = 99.47 N·m

分度圆直径

d = m·N = 2·16 = 32 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·99.47/0.032 = 6217 N

答案

F_t = 6217 N

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 85.35 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 2900·(16/45)·(30/40) = 773.3 rpm

ω_out = 2π·773.3/60 = 80.98 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 7500·0.96² = 6912 W

T_out = P_out/ω_out = 6912/80.98 = 85.35 N·m

答案

T_out = 85.35 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.8944 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(160/3.9) = 6.405 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 6.405·√(0.14² − 0.01²) = 0.8944 m/s

答案

v = 0.8944 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.122 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.7 = 3.696 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/3.696 = 0.122 s

答案

t = 0.122 s

19.机械振动

答案: f_d = 20.13 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(50000/2) = 158.1 rad/s

f_n = 158.1/(2π) = 25.16 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 25.16·√(1 − 0.6²) = 20.13 Hz

答案

f_d = 20.13 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.419 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/60 + 1/5 → k_eq = 60·5/(60 + 5) = 4.615 kN/m

固有频率

ω_n = √(4615/10) = 21.48 rad/s

f_n = 21.48/(2π) = 3.419 Hz

答案

f_n = 3.419 Hz

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