动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 80 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 80 km/ht_r = 1 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 20 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 20 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 170 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 170 Nθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 65 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 1 kgF = 65 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 16 m/s、与水平方向成 55° 的角度朝 15 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 16 m/sθ = 55°x = 15 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 45 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 45 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.6 kgr = 1.1 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 4.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 4.2 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一辆以 14 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 600 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 29 m/sv_out = 11 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 16.5 kg·m² 的飞轮以 300 rpm 转动。制动器施加 70 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 16.5 kg·m²n = 300 rpmT_b = 70 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 35°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 960 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮上。紧边张力为 500 N，松边张力为 250 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 500 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 1200 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.52 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.6 mT = 2.52 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.2 s，振幅为 8 cm。它从最大位移 8 cm 处运动到位移 2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.2 sA = 8 cmx = 2 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 4 个周期出现峰值 1.4 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₄ = 1.4 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 80 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 60.21 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 22.22·1 = 22.22 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·6.5) = 37.99 m

合计

d = 22.22 + 37.99 = 60.21 m

答案

d = 60.21 m

2.运动学

答案: h_max = 68.37 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 20·1.5 = 30 m/s

h₁ = ½·20·1.5² = 22.5 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 30²/(2·9.81) = 45.87 m

h_max = 22.5 + 45.87 = 68.37 m

答案

h_max = 68.37 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.463 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 170·sin 25° = 271.5 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 154.1 − 67.88

a = 86.2/35 = 2.463 m/s²

答案

a = 2.463 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 58.5 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 19.62)/10 = 4.538 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(4.538 + 1.962) = 58.5 N

答案

T = 58.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 8.318 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 16·cos 55° = 9.177 m/s

t = x/v_x = 15/9.177 = 1.634 s

此时的高度

y = 13.11·1.634 − ½·9.81·1.634² = 8.318 m

答案

y = 8.318 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: t = 4.851 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18.64 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 18.64·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.64 + √(347.5 + 490.5))/9.81 = 4.851 s

答案

t = 4.851 s

7.圆周运动

答案: v_max = 13.29 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·45) = 13.29 m/s

答案

v_max = 13.29 m/s (47.84 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 25.52 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·6²/1.1 = 5.886 + 19.64 = 25.52 N

答案

T = 25.52 N

9.功和能

答案: T = 54.97 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 20°) = 1.183 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·1.183/1 = 54.97 N

答案

T = 54.97 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 54.97 N。

10.功和能

答案: N = 11.77 N

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.2 − 3) = 23.54 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·23.54/1.5 − 19.62 = 11.77 N

答案

N = 11.77 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 29400 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·14/1200 = 7 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·14² = 58800 J

K_after = ½·1200·7² = 29400 J

损失的能量

ΔK = 58800 − 29400 = 29400 J

答案

ΔK = 29400 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 700 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(11 + 29) = 14 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 14/0.02 = 700 N

答案

F_avg = 700 N

13.刚体转动

答案: t = 7.405 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 70/16.5 = 4.242 rad/s²

t = ω/α = 31.42/4.242 = 7.405 s

答案

t = 7.405 s

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.2801

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 35°/1.667 = 3.376 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.6667·tan 35°/1.667 = 0.2801

答案

μ_s = 0.2801

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.885 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 7.54 m/s

功率

P = (500 − 250)·7.54 = 1885 W = 1.885 kW

答案

P = 1.885 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 8.284 kW

包角

θ = 2.426 rad

松边张力

e^μθ = e^0.8493 = 2.338, T₂ = 1200/2.338 = 513.3 N

功率

P = (1200 − 513.3)·12.06 = 8.284 kW

答案

P = 8.284 kW

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.73 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/2.52² = 3.73 m/s²

答案

g = 3.73 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.4615 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.2 = 2.856 rad/s

求解时间

0.25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.25) = 1.318 rad

t = 1.318/2.856 = 0.4615 s

答案

t = 0.4615 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.121

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(30/1.4) = 0.7662

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7662/√(39.48 + 0.587) = 0.121

答案

ζ = 0.121

20.机械振动

答案: f_n = 12.49 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 40 + 10 = 50 kN/m

k_eq = 50·80/(50 + 80) = 30.77 kN/m

固有频率

ω_n = √(30769/5) = 78.45 rad/s

f_n = 78.45/(2π) = 12.49 Hz

答案

f_n = 12.49 Hz

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