动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 25 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10 m/sd = 25 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 24 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 34 m/sθ = 45°x = 24 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 35 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 45 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 45 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 11.2 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 3.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 0.5 kgh = 11.2 mR = 3.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 3 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 2000 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 25 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 9 kg、长为 1.7 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 9 kgL = 1.7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个质量为 6.5 kg 的空心球以 6 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 6.5 kgv = 6 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 60 个齿，传动效率为 75%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 4N_w = 60n = 1450 rpmP = 1.5 kWη = 75%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（25 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 15B = 25C = 20D = 30

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 2.1 kg 的物体连在 k = 220 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.1 kgk = 220 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 2 个周期出现峰值 3.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₂ = 3.3 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 40 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 61.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·4) = 61.73 m

答案

s = 61.73 m

2.运动学

答案: h_max = 19.99 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

h_max = 10 + 9.99 = 19.99 m

答案

h_max = 19.99 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2039

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·25) = 2 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2/9.81 = 0.2039

答案

μ = 0.2039

4.牛顿定律

答案: a = 3.689 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 12.75)/12.5 = 3.689 m/s²

答案

a = 3.689 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 19.11 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 34·cos 45° = 24.04 m/s

t = x/v_x = 24/24.04 = 0.9983 s

此时的高度

y = 24.04·0.9983 − ½·9.81·0.9983² = 19.11 m

答案

y = 19.11 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 4.09 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 15° = 33.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 15° = 9.059 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 9.059·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.059 + √(82.06 + 882.9))/9.81 = 4.09 s

答案

t = 4.09 s

7.圆周运动

答案: v_max = 13.29 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·45) = 13.29 m/s

答案

v_max = 13.29 m/s (47.84 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 36.3 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·11.2 = 219.7 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 0.5·219.7/3.5 + 4.905 = 36.3 N

答案

N_bottom = 36.3 N

9.功和能

答案: T = 294.3 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 90°) = 58.86 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·58.86/3 = 294.3 N

答案

T = 294.3 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 294.3 N。

10.功和能

答案: v = 5.194 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2.5 − 0.25·4.5) = 26.98 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.375) = 5.194 m/s

答案

v = 5.194 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 7143 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·5/2800 = 3.571 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·5² = 25000 J

K_after = ½·2800·3.571² = 17857 J

损失的能量

ΔK = 25000 − 17857 = 7143 J

答案

ΔK = 7143 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 4.1 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(16 + 25) = 4.1 N·s

答案

J = 4.1 N·s

13.刚体转动

答案: v = 7.073 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 9·9.81·0.85 = 75.05 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 9·1.7²/3 = 8.67 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 75.05 → ω = √(2·75.05/8.67) = 4.161 rad/s

v = ω·L = 4.161·1.7 = 7.073 m/s

答案

v = 7.073 m/s

14.刚体转动

答案: p = 40 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·6.5·6² = 117 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·117 = 78 J

转动所占的份额

p = 78/195·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

答案

p = 40 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 111.1 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1450·4/60 = 96.67 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·96.67/60 = 10.12 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.75·1500/10.12 = 111.1 N·m

答案

T_w = 111.1 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 1160 rpm

第一级

n_B = 2900·15/25 = 1740 rpm = n_C

第二级

n_out = 1740·20/30 = 1160 rpm

答案

n_out = 1160 rpm

总传动比 = 2.5 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.553 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

答案

L = 1.553 m

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.228 m/s

角频率

ω = √(220/2.1) = 10.24 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.12·10.24 = 1.228 m/s

答案

v_max = 1.228 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.1196

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(15/3.3) = 0.7571

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7571/√(39.48 + 0.5731) = 0.1196

答案

ζ = 0.1196

20.机械振动

答案: f_n = 3.183 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/10 + 1/40 → k_eq = 10·40/(10 + 40) = 8 kN/m

固有频率

ω_n = √(8000/20) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3.183 Hz

答案

f_n = 3.183 Hz

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