动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 29 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 29 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 27 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 27 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 9.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 11 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9.5 m/sd = 11 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7.5 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 40° 的角度抛出，落在 10 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 40°R = 10 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 10 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 125 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 40 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 40 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 16 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 1.5 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4 kgL = 0.6 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 4.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 17 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 4.5 kgM = 17 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 5.5 kg 的哑铃，距转轴 0.75 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4.5 kg·m²。他们以 50 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.3 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 4.5 kg·m²m = 2 × 5.5 kgr₁ = 0.75 mr₂ = 0.3 mn₁ = 50 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 90 mm。须用一对模数为 1.5 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 90 mmm = 1.5 mmi = 3

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 15 个齿，每个行星轮有 30 个齿。齿圈固定，太阳轮以 600 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 15N_p = 30n_s = 600 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 340 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.1 kgk = 340 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 200 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 200 kgk = 50 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 25 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 841 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/2 = 29 s

距离

d = v·t = 29·29 = 841 m

答案

d = 841 m

此时警车的速度为 2v = 58 m/s。

2.运动学

答案: s = 400.8 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·8 = 12 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·8² = 48 m

s₂ = 12·27 = 324 m

s₃ = 12²/(2·2.5) = 28.8 m

总距离

s = 48 + 324 + 28.8 = 400.8 m

答案

s = 400.8 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4182

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 9.5²/(2·11) = 4.102 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4.102/9.81 = 0.4182

答案

μ = 0.4182

4.牛顿定律

答案: d = 4.001 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7.5²/(2·7.029) = 4.001 m

答案

d = 4.001 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 9.981 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·10/sin 80°) = 9.981 m/s

答案

v₀ = 9.981 m/s

6.抛体运动

答案: v = 22.19 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 10·cos 45° = 7.071 m/s

v_y0 = 10·sin 45° = 7.071 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.071² + 2·9.81·20) = 21.03 m/s

落水速度

v = √(7.071² + 21.03²) = 22.19 m/s

答案

v = 22.19 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 22.15 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·125) = 22.15 m/s

答案

v_max = 22.15 m/s (79.73 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.426 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答案

v_min = 2.426 m/s

9.功和能

答案: d = 7.865 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.8·9.81) = 7.865 m

答案

d = 7.865 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 35.48 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.15·1) = 94.42 J

最大压缩量

½kx² = 94.42 → x = √(2·94.42/1500) = 0.3548 m = 35.48 cm

答案

x = 35.48 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 178.9 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 1.5)·1.772/0.015 = 178.9 m/s

答案

v = 178.9 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 554.8 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 40°) = 0.1404 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1404) = 1.66 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.012·1.66/0.012 = 554.8 m/s

答案

v = 554.8 m/s

13.刚体转动

答案: T = 28.86 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 4.5·9.81/(4.5 + 8.5) = 3.396 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 4.5·(9.81 − 3.396) = 28.86 N

答案

T = 28.86 N

14.刚体转动

答案: n₂ = 97.34 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 4.5 + 2·5.5·0.75² = 10.69 kg·m²

I₂ = 4.5 + 2·5.5·0.3² = 5.49 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 50·10.69/5.49 = 97.34 rpm

答案

n₂ = 97.34 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 90

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/1.5 = 120

按传动比分配

N₁ = 120/(1 + 3) = 30

N₂ = 3·30 = 90

答案

N₂ = 90

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 100 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·30 = 75

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −75/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·15/90 = 100 rpm

答案

n_c = 100 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.7181 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

答案

L = 0.7181 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 10.97 m/s²

角频率

ω = √(340/3.1) = 10.47 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.1·10.47² = 10.97 m/s²

答案

a_max = 10.97 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 2.401 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(50000/200) = 15.81 rad/s

f_n = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.3²) = 2.401 Hz

答案

f_d = 2.401 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 1.541 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/25 + 1/15 → k_eq = 25·15/(25 + 15) = 9.375 kN/m

固有频率

ω_n = √(9375/100) = 9.682 rad/s

f_n = 9.682/(2π) = 1.541 Hz

答案

f_n = 1.541 Hz

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