动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 7 kg 和 3.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 40° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 40°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.4 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 50° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.4 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.2 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 100 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 100 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 10 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 10 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 7 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 4 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 21 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 7 kg·m² 的飞轮以 300 rpm 转动。制动器施加 165 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 7 kg·m²n = 300 rpmT_b = 165 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个薄圆环沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 10°I = m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一台 0.75 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 45 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 0.75 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 45N₂ = 50η = 98%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（25 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（36 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 640 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 960 rpmA = 25B = 36C = 24n_out = 640 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.9 kg 的物体连在 k = 110 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.9 kgk = 110 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 150 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 150 kgk = 150 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 64.29 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64.29 m

答案

s = 64.29 m

2.运动学

答案: t = 3.608 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.608 s

答案

t = 3.608 s

3.牛顿定律

答案: T = 45.78 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7 − 3.5)·9.81/(7 + 3.5) = 3.27 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3.5·(9.81 + 3.27) = 45.78 N

答案

T = 45.78 N

4.牛顿定律

答案: T = 12.8 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 0)/11.5 = 1.28 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·1.28 + 0 = 12.8 N

答案

T = 12.8 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 34.57 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 80°) = 34.57 m/s

答案

v₀ = 34.57 m/s

6.抛体运动

答案: x = 45.09 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 60° = 9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 60° = 15.59 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 15.59·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.59 + √(243 + 882.9))/9.81 = 5.009 s

水平距离

x = v_x·t = 9·5.009 = 45.09 m

答案

x = 45.09 m

7.圆周运动

答案: T = 1.903 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.4·sin 50° = 1.072 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.072·9.81·tan 50°) = 3.541 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·1.072/3.541 = 1.903 s

答案

T = 1.903 s

8.圆周运动

答案: v_min = 3.431 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.2) = 3.431 m/s

答案

v_min = 3.431 m/s

9.功和能

答案: d = 78.65 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.5·9.81) = 78.65 m

答案

d = 78.65 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: N = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10 − 5) = 98.1 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·98.1/2.5 − 19.62 = 58.86 N

答案

N = 58.86 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 235.6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 4)·1.172/0.02 = 235.6 m/s

答案

v = 235.6 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 16.8 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(7 + 21) = 16.8 N·s

答案

J = 16.8 N·s

13.刚体转动

答案: t = 1.333 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 165/7 = 23.57 rad/s²

t = ω/α = 31.42/23.57 = 1.333 s

答案

t = 1.333 s

14.刚体转动

答案: a = 0.8517 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/2 = 0.8517 m/s²

答案

a = 0.8517 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 2.47 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/303.7 = 2.47 N·m

答案

T₁ = 2.47 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 25

中间轴转速

n_B = n_C = 960·25/36 = 666.7 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 24·666.7/640 = 25

答案

N_D = 25

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.2655 m/s

角频率

ω = √(110/3.9) = 5.311 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.05·5.311 = 0.2655 m/s

答案

v_max = 0.2655 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 4.801 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(150000/150) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.3²) = 4.801 Hz

答案

f_d = 4.801 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 92 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 80 + 12 = 92 kN/m

答案

k_eq = 92 kN/m

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