动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 5 s，然后匀速行驶 26 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 5 st₂ = 26 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 140 Nθ = 40°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 70° 的角度抛出，落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 70°R = 45 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 19 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 19 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一个系在长 1.1 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 35° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.1 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 5.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 5.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 8 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 2 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 900 kg 汽车与一辆以 14 m/s 向北行驶的 1400 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 900 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

转动惯量为 29 kg·m² 的飞轮以 2100 rpm 转动。制动器施加 95 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 29 kg·m²n = 2100 rpmT_b = 95 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

质量为 10 kg、长为 1.6 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 45 g 的子弹以 420 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.34 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 10 kgL = 1.6 mm = 45 gv = 420 m/sd = 1.34 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 80 mm。须用一对模数为 2 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 80 mmm = 2 mmi = 3

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 80 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 80 mmd₂ = 450 mmC = 600 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.5 s，振幅为 20 cm。它从最大位移 20 cm 处运动到位移 6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.5 sA = 20 cmx = 6 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块挂在刚度为 5 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 12 kgk = 5 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 12 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 10.42 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7.5) = 10.42 m

答案

s = 10.42 m

2.运动学

答案: s = 147.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·5 = 5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1·5² = 12.5 m

s₂ = 5·26 = 130 m

s₃ = 5²/(2·2.5) = 5 m

总距离

s = 12.5 + 130 + 5 = 147.5 m

答案

s = 147.5 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.625 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 140·sin 40° = 57.16 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 107.2 − 22.86

a = 84.38/15 = 5.625 m/s²

答案

a = 5.625 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.489 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 23.3)/14 = 1.489 m/s²

答案

a = 1.489 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 26.21 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·45/sin 140°) = 26.21 m/s

答案

v₀ = 26.21 m/s

6.抛体运动

答案: v = 37.95 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 19·cos 30° = 16.45 m/s

v_y0 = 19·sin 30° = 9.5 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.5² + 2·9.81·55) = 34.2 m/s

落水速度

v = √(16.45² + 34.2²) = 37.95 m/s

答案

v = 37.95 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v = 2.082 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.1·sin 35° = 0.6309 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6309·9.81·tan 35°) = 2.082 m/s

答案

v = 2.082 m/s

8.圆周运动

答案: h_min = 13.75 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·5.5 = 13.75 m

答案

h_min = 13.75 m

9.功和能

答案: W_f = 6.429 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.1·8.036 = 0.8036 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.8036·8 = 6.429 J

答案

W_f = 6.429 J

10.功和能

答案: x = 58.6 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2 − 0.25·4.5) = 85.84 J

最大压缩量

½kx² = 85.84 → x = √(2·85.84/500) = 0.586 m = 58.6 cm

答案

x = 58.6 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.6667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 3.5)/(4 + 3.5)·10 = 0.6667 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3.5)·10 = 10.67 m/s

答案

v′₁ = 0.6667 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 57.26 °

动量分量

p_x = 900·14 = 12600 kg·m/s

p_y = 1400·14 = 19600 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.556 → θ = 57.26°

答案

θ = 57.26°

13.刚体转动

答案: N = 1175 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2100/60 = 219.9 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·29·219.9² = 701235 J

θ = 701235/95 = 7381 rad

圈数

N = θ/2π = 1175 rev

答案

N = 1175 rev

14.刚体转动

答案: ω = 2.94 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 10·1.6²/3 + 0.045·1.34² = 8.614 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.045·420·1.34/8.614 = 2.94 rad/s

答案

ω = 2.94 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 60

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·80/2 = 80

按传动比分配

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

N₂ = 3·20 = 60

答案

N₂ = 60

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 144.1 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.3083) = 17.96°

包角

θ = 180 − 2·17.96 = 144.1°

答案

θ = 144.1°

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.287 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.3/9.81) = 2.287 s

答案

T = 2.287 s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.3023 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.5 = 4.189 rad/s

求解时间

0.3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.3) = 1.266 rad

t = 1.266/4.189 = 0.3023 s

答案

t = 0.3023 s

19.机械振动

答案: f_d = 2.813 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(5000/12) = 20.41 rad/s

f_n = 20.41/(2π) = 3.249 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.249·√(1 − 0.5²) = 2.813 Hz

答案

f_d = 2.813 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 7.164 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 25 + 40 = 65 kN/m

k_eq = 65·12/(65 + 12) = 10.13 kN/m

固有频率

ω_n = √(10130/5) = 45.01 rad/s

f_n = 45.01/(2π) = 7.164 Hz

答案

f_n = 7.164 Hz

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